№13 Неравенства
Линейное или квадратное неравенство. Ответ — промежуток.
Как решать
Линейные неравенства
Линейное неравенство решается почти как линейное уравнение: $3x - 5 > x + 1$. Отличие одно, зато важное: если делить или умножать на отрицательное число, знак неравенства переворачивается.
По шагам
- Перенесите слагаемые с $x$ влево, числа вправо. При переносе знак слагаемого меняется, как в уравнении.
- Приведите подобные, чтобы получилось $ax > b$ (или с другим знаком неравенства).
- Разделите обе части на $a$. Если $a > 0$, знак неравенства не меняется. Если $a < 0$, меняется на противоположный.
- Запишите ответ промежутком: $x > 3$ — это $(3; +\infty)$, $x \le 3$ — это $(-\infty; 3]$.
Где ошибаются
- Делят на отрицательное число и не переворачивают знак.
- Путают скобки: при строгом знаке ($>$ или $<$) конец не входит, скобка круглая; при нестрогом ($\ge$, $\le$) входит, скобка квадратная.
- Ставят квадратную скобку у бесконечности. У $\infty$ скобка всегда круглая.
Пример
Квадратные неравенства
В квадратном неравенстве слева стоит квадратный трёхчлен: $x^2 - 5x + 6 \le 0$. Его график — парабола, и ответ удобнее всего прочитать прямо с картинки: где парабола выше оси, а где ниже.
По шагам
- Перенесите всё в левую часть, чтобы справа остался ноль.
- Найдите корни трёхчлена, решив уравнение $ax^2 + bx + c = 0$. В корнях парабола пересекает ось.
- Нарисуйте параболу схематично: при $a > 0$ ветви смотрят вверх, при $a < 0$ вниз.
- Для знака $>$ или $\ge$ возьмите участки, где парабола выше оси; для $<$ или $\le$ — где ниже.
- Корни включайте в ответ, только если неравенство нестрогое.
Где ошибаются
- Забывают, что при отрицательном $a$ парабола перевёрнута, и берут не тот участок.
- Путают «между корнями» и «снаружи». Помогает быстрая проверка: подставьте одно число из ответа в неравенство.
- Не знают, что делать при $D < 0$. Тогда трёхчлен везде одного знака, и ответ либо все числа, либо пустое множество.