Метод Гаусса
Метод Гаусса: решить систему, найти ранг матрицы, понять, сколько у системы решений, и привести матрицу к приведённому ступенчатому виду.
Как решать
Метод Гаусса упрощает систему, не меняя её решений: строки можно менять местами, умножать на ненулевое число и прибавлять к одной строке другую, умноженную на число. Цель — ступенчатый вид, где под каждым ведущим элементом стоят нули. Оттуда решение читается снизу вверх.
По шагам
- Запишите расширенную матрицу: коэффициенты и через черту — правые части.
- Выберите ведущий элемент в первом столбце (удобнее $\pm 1$; если там ноль — переставьте строки) и обнулите всё под ним.
- Перейдите к следующему столбцу и следующей строке и повторите. Получится ступенчатый вид.
- Ранг — число ненулевых строк. Строка $0 = c$ с $c \ne 0$ — решений нет; ранг меньше числа неизвестных — решений бесконечно много; иначе решение одно.
- Для решения идите снизу вверх, подставляя найденные неизвестные. Для приведённого вида обнулите ещё и элементы над ведущими.
Где ошибаются
- Изменяют строку, а правую часть — нет. Действия выполняются над всей строкой расширенной матрицы.
- Прибавляют к строке её саму, умноженную на число, — это умножение строки, а не исключение.
- Делают вывод о числе решений, не доведя матрицу до ступенчатого вида.
- Считают ранг по числу строк исходной матрицы, а не по ненулевым строкам ступенчатой.