Математика EN

Матрицы и векторы

Матрица на вектор, матрица поворота или растяжения, произведение матриц, определитель и обратная матрица — линейная алгебра на числах.

Как решать

Матрица — это преобразование плоскости, записанное таблицей: её столбцы — образы базисных векторов $\mathbf e_1$ и $\mathbf e_2$. Умножить матрицу на вектор — взять комбинацию столбцов с коэффициентами из вектора. Произведение матриц — два преобразования подряд.

По шагам

$A\mathbf v$: первый столбец умножьте на первую координату вектора, второй — на вторую и сложите. Или по правилу «строка на столбец».
Матрица преобразования: найдите, куда переходят $\mathbf e_1 = (1;\ 0)$ и $\mathbf e_2 = (0;\ 1)$, и запишите образы столбцами.
Произведение $AB$: элемент в строке $i$ и столбце $j$ — строка $i$ матрицы $A$, умноженная скалярно на столбец $j$ матрицы $B$.
Определитель $2 \times 2$: $ad - bc$. Обратная существует, только если он не ноль.

Определитель: на него делится всё.

Диагональные элементы меняются местами.

Внедиагональные меняют знак.

Пример: $A = \begin{pmatrix} 2 & -5 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$, $\det A = 10$, $A^{-1} = \frac{1}{10}\begin{pmatrix} 5 & 5 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & \frac{1}{5} \end{pmatrix}$.

Где ошибаются

Записывают образы базисных векторов строками, а не столбцами.
Считают $AB = BA$. Умножение матриц не перестановочно: порядок преобразований важен.
В обратной матрице меняют знаки на диагонали вместо внедиагональных элементов.
Забывают разделить на определитель.