Собственные значения и векторы
Собственные значения и векторы матриц 2 × 2 и 3 × 3 через характеристический многочлен, а на последнем уровне — стационарное распределение цепи Маркова.
Как решать
Собственный вектор — направление, которое преобразование не поворачивает, а только растягивает в $\lambda$ раз: $A\mathbf v = \lambda\mathbf v$. Такое возможно, только если матрица $A - \lambda I$ «схлопывает» ненулевой вектор, то есть её определитель равен нулю.
По шагам
- Составьте характеристический многочлен $\det(A - \lambda I)$: вычтите $\lambda$ из диагонали и посчитайте определитель. Для $2 \times 2$: $\lambda^2 - (\text{след})\lambda + \det A$.
- Найдите его корни — это собственные значения. У треугольной матрицы они стоят на диагонали.
- Собственный вектор для $\lambda$: решите систему $(A - \lambda I)\mathbf v = \mathbf 0$. Уравнения в ней пропорциональны — оставьте одно и подберите ненулевое решение.
- Цепь Маркова: стационарное распределение — собственный вектор для $\lambda = 1$, нормированный так, чтобы сумма координат была $1$.
Где ошибаются
- Вычитают $\lambda$ из всех элементов матрицы, а не только из диагонали.
- Ищут собственный вектор и получают $\mathbf v = \mathbf 0$ — он не годится: нужен ненулевой.
- Ждут единственного собственного вектора. Любой ненулевой кратный тоже собственный.
- В цепи Маркова забывают нормировку — сумма вероятностей должна быть равна $1$.