Перестановки
Перестановки: композиция, разложение на циклы, порядок — сколько раз повторить, чтобы всё вернулось, — чётность и обратная перестановка.
Как решать
Перестановка говорит, куда переходит каждое число: верхняя строка — откуда, нижняя — куда. Почти всё про перестановку видно, если разложить её на циклы — цепочки $1 \to 4 \to 1$, $2 \to 6 \to 5 \to 2$: порядок, чётность, обратная.
По шагам
- Циклы: начните с $1$, идите по стрелкам, пока не вернётесь; затем возьмите наименьшее не пройденное число.
- Композиция $\sigma \circ \tau$: сначала $\tau$, потом $\sigma$. Для каждого $i$ найдите $\tau(i)$, затем $\sigma(\tau(i))$.
- Порядок — наименьшее общее кратное длин циклов.
- Чётность: цикл длины $k$ — это $k - 1$ транспозиций. Сложите и посмотрите на чётность суммы.
- Обратная: разверните стрелки — поменяйте строки местами и упорядочьте верхнюю.
Где ошибаются
- Выполняют композицию слева направо: в $\sigma \circ \tau$ первой действует $\tau$.
- Складывают длины циклов вместо НОК: у циклов длины $2$ и $3$ порядок $6$, а не $5$.
- Считают цикл длины $k$ за $k$ транспозиций — их $k - 1$.
- Забывают неподвижные точки, когда считают число циклов для знака.