Периодические дроби
Обыкновенная дробь в десятичную с периодом и обратно: 0,(54) = 6/11, 0,91(6) = 11/12. Деление уголком, правило «период делим на девятки».
Как решать
При делении уголком остатки могут быть только $0, 1, \dots, b - 1$, где $b$ — знаменатель. Поэтому рано или поздно остаток повторится, и цифры пойдут по кругу — это период. Обратный перевод держится на одном наблюдении: $0{,}(1) = \frac{1}{9}$, $0{,}(01) = \frac{1}{99}$ и так далее.
По шагам
- Дробь → десятичная: делите уголком и записывайте остатки. Как только остаток повторился, цифры между двумя его появлениями — период.
- Чистый период → дробь: период делите на число из стольких девяток, сколько цифр в периоде: $0{,}(54) = \frac{54}{99}$.
- С предпериодом: умножьте на $10^k$, чтобы предпериод ушёл влево от запятой, переведите получившееся число, затем разделите на $10^k$.
- Сократите дробь.
Где ошибаются
- Делят период на $10$, $100$, … вместо $9$, $99$, …: так получается конечная дробь, а не периодическая.
- Ставят период не туда: у $\frac{13}{22} = 0{,}5909\ldots$ предпериод $5$, а период $90$ — ответ $0{,}5(90)$.
- Обрывают деление раньше времени: у $\frac{1}{7}$ период из шести цифр, $0{,}(142857)$.
- Забывают сократить: $\frac{54}{99} = \frac{6}{11}$.