Рациональное или иррациональное?
Дроби, десятичные, корни и выражения с корнями: какие из них рациональные, а какие нет. Сначала упростите — ответ часто прячется за записью.
Как решать
Рациональное число — то, что можно записать дробью $\frac{p}{q}$ с целыми $p$ и $q \ne 0$. В десятичной записи у него либо конечный хвост, либо период. Корень из натурального числа, которое не квадрат, — иррационален; таким же остаётся почти любое выражение с ним, если корень не сокращается.
По шагам
- Конечная или периодическая десятичная дробь, обыкновенная дробь, целое — рациональные.
- Корень сначала упростите: вынесите квадраты, $\sqrt{48} = 4\sqrt{3}$, и извлеките, если число — точный квадрат: $\sqrt{1{,}96} = 1{,}4$.
- Раскройте скобки и приведите подобные. Если корни взаимно уничтожились — $(1 + \sqrt{5})(1 - \sqrt{5}) = 1 - 5 = -4$ — число рационально.
- Если остался $\sqrt{n}$ с ненулевым рациональным коэффициентом и $n$ не квадрат, число иррационально.
Где ошибаются
- Судят по виду: $\frac{\sqrt{80}}{\sqrt{45}}$ «с корнями», но равно $\frac{4}{3}$.
- Считают иррациональной бесконечную десятичную дробь с периодом: $0{,}(3) = \frac{1}{3}$ рационально.
- Думают, что сумма двух иррациональных всегда иррациональна: $(2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 4$.
- Путают $\frac{22}{7}$ с числом $\pi$: $\frac{22}{7}$ — дробь, оно рационально, а $\pi$ — нет.