Меры и интегралы Лебега
Мера Лебега — длина для сложных множеств: счётные множества и рациональные точки, «пыль» Кантора и интеграл Лебега от функции, заданной по-разному на рациональных и иррациональных числах.
Как решать
Мера Лебега обобщает длину: у отрезка она равна длине, у объединения непересекающихся частей — сумме мер. Любое счётное множество — например, все рациональные числа — имеет меру ноль: каждую точку можно накрыть сколь угодно маленьким отрезком. Поэтому интегралу Лебега всё равно, что происходит на множестве меры ноль.
По шагам
- Разбейте множество на простые куски — отрезки, точки, счётные множества — и сложите меры. Пересечения посчитайте один раз.
- Счётное множество (конечное, натуральные, рациональные, рациональные точки отрезка) — мера $0$.
- Построение «пыли»: на каждом шаге остаётся одна и та же доля. После $n$ шагов мера — эта доля в степени $n$.
- Интеграл Лебега: если функция почти всюду (кроме множества меры ноль) совпадает с обычной, интеграл равен обычному интегралу от неё.
Где ошибаются
- Думают, что рациональных точек на отрезке «много», раз они везде, и дают им ненулевую меру.
- В «пыли» вычитают выброшенные части только на первом шаге: доля остатка умножается на каждом шаге.
- В интеграле Лебега учитывают значения функции на рациональных точках.
- Складывают меры пересекающихся множеств, не вычитая общую часть.