Таблицы, отрицания и островитяне

Таблицы истинности, отрицание утверждений с кванторами «для всех» и «существует» и головоломки о рыцарях и лжецах.

Как решать

Логика проверяет рассуждения как арифметика — числа. У формулы из $n$ переменных $2^n$ вариантов значений, и её можно проверить на всех. Отрицание переворачивает кванторы: «для всех» становится «существует», и наоборот, а внутренняя часть отрицается.

По шагам

Таблица истинности: выпишите все $2^n$ наборов значений и посчитайте формулу на каждом, двигаясь от внутренних скобок к внешним.
Импликация $A \to B$ ложна только в одном случае: $A$ истинно, $B$ ложно.
Отрицание с кванторами: каждый $\forall$ замените на $\exists$ и наоборот, а условие в конце отрицайте: $<$ становится $\ge$.
Рыцари и лжецы: переведите каждое высказывание в условие «если говорящий рыцарь, то сказанное истинно, иначе ложно» и переберите варианты.

«Для всех» — квантор всеобщности.

Утверждение внутри — его и отрицаем.

«Существует» — квантор существования.

Пример: «$a_n \to a$»: $\forall \varepsilon > 0\ \exists N\ \forall n > N$: $|a_n - a| < \varepsilon$. Отрицание: $\exists \varepsilon > 0\ \forall N\ \exists n > N$: $|a_n - a| \ge \varepsilon$.

Где ошибаются

Считают импликацию с ложной посылкой ложной. При ложном $A$ утверждение $A \to B$ истинно.
Отрицают только кванторы и оставляют условие, или наоборот.
Отрицают «$< \varepsilon$» как «$> \varepsilon$» — правильно «$\ge \varepsilon$».
В задачах про островитян проверяют только один вариант. Нужно убедиться, что подходящий вариант единственный.