Точные грани
Супремум и инфимум последовательностей и множеств, заданных неравенствами, — и чем точная грань отличается от наибольшего элемента.
Как решать
Точная верхняя грань ($\sup$) — наименьшее число, которое не меньше всех элементов множества. Она может принадлежать множеству (тогда это наибольший элемент), а может нет: у интервала $(0;\ 1)$ супремум $1$, но наибольшего элемента нет. У любого ограниченного сверху непустого множества действительных чисел супремум есть — это аксиома полноты.
По шагам
- Последовательность: выясните, монотонна ли она. У убывающей супремум — первый член, инфимум — предел (если он не достигается).
- Множество из неравенства: решите неравенство и посмотрите на концы промежутка. Строгое неравенство — граница не входит в множество, но остаётся гранью.
- Сложные последовательности разбейте на подпоследовательности (например, чётные и нечётные номера) и найдите грани каждой.
- Чтобы проверить, что $M$ — супремум: все элементы $\le M$, и для любого $\varepsilon > 0$ есть элемент больше $M - \varepsilon$.
Где ошибаются
- Думают, что супремум обязан принадлежать множеству. У $\{x : x^2 < 8\}$ супремум $\sqrt{8}$, хотя самого $\sqrt{8}$ в множестве нет.
- Путают «наибольший элемент» и «супремум»: первого может не быть, второй у ограниченного множества есть всегда.
- Берут в грань предел, не проверив монотонность: у колеблющейся последовательности грани могут быть другими.
- Для множества рациональных чисел ищут грань среди рациональных — а она может быть иррациональной.