Нормы, скалярные произведения и сжатия
Разные нормы векторов, длины и скалярные произведения функций через интеграл и сжимающие отображения с их неподвижными точками.
Как решать
Норма — это способ измерять длину. У вектора их несколько: сумма модулей координат ($\ell_1$), обычная длина ($\ell_2$), наибольшая координата по модулю ($\ell_\infty$). Функции тоже можно мерить и складывать как векторы: скалярное произведение — интеграл от произведения, а синусы и косинусы разных частот перпендикулярны.
По шагам
- $\|x\|_1$ — сумма модулей координат, $\|x\|_2$ — корень из суммы квадратов, $\|x\|_\infty$ — наибольший модуль.
- Скалярное произведение функций на $[-\pi;\ \pi]$: $\langle f, g\rangle = \int f g\,dx$. Произведения разных гармоник дают ноль, а $\int \cos^2 nx\,dx = \int \sin^2 nx\,dx = \pi$.
- Длина тригонометрического многочлена — «теорема Пифагора»: $\|f\|^2 = \pi \cdot (\text{сумма квадратов коэффициентов})$.
- Сжатие $T$ — отображение, уменьшающее расстояния в $q < 1$ раз. Его неподвижная точка единственна: решите $T(x) = x$.
Где ошибаются
- В $\|x\|_1$ складывают координаты со знаками, а не модули.
- При длине функции раскрывают квадрат и честно считают все перекрёстные интегралы — они нули по ортогональности.
- Забывают множитель $\pi$: $\int_{-\pi}^{\pi} \cos^2 x\,dx = \pi$, а не $1$.
- Считают сжатием отображение с коэффициентом $|q| \ge 1$.