Сколько их: счётно или континуум

Гостиница Гильберта, нумерация пар по диагоналям и вопрос, какая бесконечность у множества: счётная или континуум.

Как решать

Два множества одинаково велики, если между ними есть взаимно однозначное соответствие. Множество счётно, если его элементы можно занумеровать: первый, второй, третий… Целых, чётных, рациональных чисел столько же, сколько натуральных. А вот действительных чисел больше — это континуум.

По шагам

Гостиница Гильберта: проследите правило переезда. Если жильцы переехали из $n$ в $2n$, а новые гости заняли $2k - 1$, то чётный номер — бывший жилец, нечётный — гость.
Пары по диагоналям: пара $(a, b)$ лежит на диагонали с суммой $a + b$; до неё пройдено $1 + 2 + \ldots + (a + b - 2)$ пар, а на своей диагонали она $a$-я.
Мощность: если элементы можно выписать в бесконечный список (целые, кратные, рациональные, пары, конечные слова) — счётно. Отрезок, прямая, бесконечные последовательности цифр — континуум.

Первое число пары: место на своей диагонали.

Второе число пары.

Пример: пара $(6, 1)$: сумма $7$, до её диагонали $\frac{5 \cdot 6}{2} = 15$ пар, она шестая на своей — номер $21$.

Где ошибаются

Считают, что чётных чисел «вдвое меньше», чем натуральных. Их столько же: $n \leftrightarrow 2n$.
Путают направление переезда в гостинице: важно, откуда в какой номер.
Ошибаются на единицу в номере диагонали: пары с суммой $2$ — первая диагональ.
Думают, что рациональных чисел больше, чем натуральных, раз между любыми двумя есть ещё. Их можно занумеровать — счётно.