This chapter hasn’t been translated into English yet, so here is the Russian original. Your browser can translate the page; the formulas and widgets work the same. Back to the English contents →

Часть III · Геометрия Глава 23 из 60

Симметрия и преобразования

Мастерская орнаментов: рисуем мотив, а зеркала, повороты и сдвиги превращают его в розетку, бордюр и обои. По дороге выяснится, что способов подвинуть плоскость без искажений всего четыре, а способов повторить узор по всей плоскости — семнадцать.

10–11 класс 55 минут

Опирается на: 22 · Векторы и координаты

Вы научитесь

узнавать четыре движения плоскости, раскладывать любое движение на отражения и записывать поворот в координатах
определять тип розетки, бордюра и узора обоев по их симметриям
понимать, почему у периодических узоров бывают только повороты на 180°, 120°, 90° и 60°, и чем подобие отличается от движения

Линия III · Геометрия

Вы здесь: 23 · Симметрия

Пересадки 40 · Группы

В прошлой главе лодка переправлялась через реку, и каждая её точка сдвигалась на один и тот же вектор. Такой сдвиг ничего не искажает: нос остаётся на том же расстоянии от кормы, мачта — той же высоты. Какие ещё способы подвинуть фигуру не меняют в ней ни одного расстояния? У бабочки левое крыло — зеркальная копия правого. Бордюр на обоях — один и тот же мотив, повторённый вдоль полосы. Плитка на полу повторяется сразу в двух направлениях. Всё это одна история: фигура не меняется, если её подвинуть определённым образом.

Эта глава устроена как мастерская орнаментов. У нас есть мотив (завиток, флажок, отпечаток ноги) и набор способов его перемещать. Сначала разберём сами способы и докажем, что их всего четыре. Потом будем печатать мотив по правилам: вокруг точки получится розетка, вдоль полосы — бордюр, по всей плоскости — обои. В конце выйдем за пределы жёстких движений: растянем мотив и вывернем его наизнанку относительно окружности.

Четыре способа сдвинуть рисунок

Начнём с главного слова. Если фигуру вырезать из бумаги и переложить на новое место, сдвинув, повернув или перевернув обратной стороной, расстояния между её точками не изменятся. Геометры описывают это как преобразование всей плоскости сразу.

Движение (его ещё называют изометрией) — преобразование плоскости, которое сохраняет расстояния: для любых точек $X$ и $Y$ расстояние между их образами $X'$ и $Y'$ равно $XY$.

Первые три примера знакомы каждому.

Параллельный перенос на вектор $\vec v$ сдвигает каждую точку $X$ в точку $X'$ с $\overrightarrow{XX'} = \vec v$. Поворот вокруг точки $O$ на угол $\varphi$ переводит $X$ в такую точку $X'$, что $OX' = OX$ и угол от луча $OX$ до луча $OX'$ равен $\varphi$ (против часовой стрелки, если $\varphi > 0$). Осевая симметрия, или отражение в прямой $\ell$, переводит $X$ в такую точку $X'$, что $\ell$ — серединный перпендикуляр к отрезку $XX'$; точки самой прямой $\ell$ остаются на месте.

Поворот на $180^\circ$ встречается так часто, что у него есть собственное имя.

Центральная симметрия относительно точки $O$ — поворот на $180^\circ$ вокруг $O$: точка $X$ переходит в $X'$, и $O$ — середина отрезка $XX'$.

Четвёртый способ заметить труднее, хотя вы видели его на каждом пляже. Пройдите по мокрому песку: левый след, правый, левый, правый. Правый след — зеркальная копия левого, отражённая в линии вашего пути и сдвинутая вперёд на полшага.

Скользящая симметрия — отражение в прямой $\ell$, за которым следует параллельный перенос вдоль этой же прямой на ненулевой вектор. Прямую $\ell$ называют её осью.

Движения делятся на два сорта. Перенос и поворот сохраняют ориентацию: буква «Р» остаётся буквой «Р», хоть и повёрнутой, а обход треугольника против часовой стрелки остаётся обходом против часовой стрелки. Отражение и скользящая симметрия ориентацию меняют: у «Р» петля оказывается слева, левый след становится правым. Сколько бумажную фигуру ни двигай по столу, в зеркальную её не превратишь — нужно перевернуть лист.

Прежде чем складывать движения, убедимся, что они не гнут линии и не портят углы.

Движение переводит прямую в прямую, отрезок — в равный отрезок, треугольник — в равный треугольник. Поэтому углы оно тоже сохраняет.

Идея в том, что «лежать на одной прямой» можно сказать на языке расстояний. Точка $B$ лежит на отрезке $AC$ ровно тогда, когда $AB + BC = AC$: для любой точки вне отрезка по неравенству треугольника $AB + BC > AC$. Движение сохраняет все три расстояния, поэтому равенство $A'B' + B'C' = A'C'$ тоже выполнено, и $B'$ лежит на отрезке $A'C'$. Значит, отрезок переходит в отрезок той же длины, а прямая, которая складывается из отрезков, — в прямую. Треугольник $ABC$ переходит в треугольник $A'B'C'$ с теми же длинами сторон, по третьему признаку равенства они равны, а в равных треугольниках равны и соответственные углы.

Цепочка следов на песке: левый, правый, левый, правый. Какое движение переводит этот узор в себя, сдвигая каждый след в следующий?

Левый след становится правым — значит, ориентация меняется, и это отражение или скользящая симметрия. Но следующий след стоит впереди, а не напротив, — значит, к отражению в линии пути добавлен сдвиг вдоль неё на полшага.

Два зеркала

Движения можно выполнять одно за другим. Результат — снова движение: если каждое сохраняет расстояния, то и оба подряд сохраняют. Такое преобразование называют композицией, как и для функций. Начнём с самого простого материала: отразим дважды.

Поставьте два зеркала углом, как створки трюмо: в зеркале отражается зеркало, и копий получается несколько. Две параллельные стены зеркал в лифте дают бесконечный коридор, где каждая следующая копия сдвинута. А два зеркала под прямым углом показывают вас без зеркального переворота: поднимете правую руку — отражение поднимет руку с той же стороны, как человек напротив. Все три эффекта объясняет одна теорема.

Двигайте зеркала $\ell$ и $m$ за их ручки. Чёрный кораблик отражается в $\ell$ (пунктир), потом в $m$ (зелёный). Что станет с углом поворота, если свести зеркала вместе? Если сделать их параллельными?

Отражение в прямой $\ell$, а затем в прямой $m$ — это:

поворот вокруг точки пересечения прямых на удвоенный угол от $\ell$ до $m$, если прямые пересекаются;
параллельный перенос на удвоенное расстояние между прямыми, перпендикулярно им, в сторону от $\ell$ к $m$, если прямые параллельны.

Проследим за одной произвольной точкой $X$: расстояние до $O$ не меняется, а угол складывается из двух пар равных углов.

Пусть $\ell$ и $m$ пересекаются в точке $O$ под углом $\theta$, а $X$ — любая точка. Отразим её в $\ell$. Прямая $\ell$ — серединный перпендикуляр к отрезку $XX'$, а каждая точка серединного перпендикуляра одинаково удалена от концов отрезка, поэтому $OX' = OX$. Треугольники по обе стороны от $\ell$ равны, и угол между лучом $OX$ и прямой $\ell$ равен углу между $\ell$ и лучом $OX'$; обозначим его $\alpha$.

Отразим $X'$ в $m$. Так же $OX'' = OX'$, и углы между лучами $OX'$, $OX''$ и прямой $m$ равны; обозначим их $\beta$.

Луч $OX'$ лежит между $\ell$ и $m$, поэтому угол между зеркалами складывается из $\alpha$ и $\beta$: $\theta = \alpha + \beta$.

Луч $OX$ повернулся до $OX''$ на угол $\alpha + \alpha + \beta + \beta = 2\theta$, а расстояние до $O$ не изменилось. Значит, $X''$ — образ $X$ при повороте на $2\theta$ вокруг $O$. Точка $X$ была любой, так что две симметрии вместе и есть этот поворот. Для других положений $X$ углы надо считать со знаком, но итог тот же — проверьте на чертеже, двигая $X$ и зеркало $m$.

Теперь следим за расстояниями по перпендикуляру к зеркалам.

Пусть $\ell \parallel m$, расстояние между ними $d$, а $X$ — любая точка на расстоянии $a$ от $\ell$. Её отражение $X'$ лежит на перпендикуляре к $\ell$ через $X$, на том же расстоянии $a$, но по другую сторону.

Отражение в $m$ снова двигает точку по тому же перпендикуляру: он перпендикулярен и $m$. Точка $X'$ удалена от $m$ на $d - a$ (со знаком минус, если она уже за зеркалом), и $X''$ оказывается на том же расстоянии по другую сторону от $m$.

Всего точка сдвинулась вдоль перпендикуляра на $a + a + (d - a) + (d - a) = 2d$, от $\ell$ к $m$, и это не зависит от $X$. Значит, два отражения — перенос на $2d$ перпендикулярно зеркалам.

Отсюда и лифт, и трюмо. Две параллельные стены дают копии, сдвинутые на удвоенную ширину кабины. Два зеркала под углом $\theta$ дают поворот на $2\theta$, а при $\theta = 90^\circ$ — поворот на $180^\circ$: такое изображение ориентацию не меняет, и потому оно «правильное». Порядок отражений важен: сначала в $m$, потом в $\ell$ — поворот на тот же угол, но в другую сторону.

Главное следствие звучит почти парадоксально. Результат зависит только от точки пересечения и угла между зеркалами — или от направления и расстояния, если они параллельны. Поэтому пару зеркал можно повернуть вокруг их общей точки как одно целое, а параллельную пару — сдвинуть, и результат не изменится. Этот приём нам скоро пригодится.

Два зеркала пересекаются под углом $36^\circ$. На какой угол в градусах повёрнуто изображение предмета, отразившегося сначала в одном зеркале, потом в другом?

По теореме о двух отражениях угол поворота вдвое больше угла между зеркалами: $2 \cdot 36^\circ = 72^\circ$. Такие повороты повторяются пять раз до полного оборота: $360^\circ : 72^\circ = 5$.

Других движений нет

Перенос, поворот, осевая симметрия, скользящая симметрия — и больше ничего? Это можно доказать в три шага. Сначала — что движение целиком определяется тем, куда оно отправляет три точки.

Если $A$, $B$, $C$ не лежат на одной прямой, то образ любой точки $X$ при движении однозначно определяется образами $A'$, $B'$, $C'$. В частности, движение, оставляющее $A$, $B$ и $C$ на месте, оставляет на месте все точки.

Точку можно найти по расстояниям до трёх опорных точек — так корабль находят по расстояниям до трёх маяков.

Образ $X'$ удалён от $A'$ на то же расстояние, что $X$ от $A$: движение сохраняет расстояния. Значит, $X'$ лежит на окружности с центром $A'$ и радиусом $AX$.

Так же $X'$ лежит на окружности с центром $B'$ и радиусом $BX$. Две окружности с разными центрами пересекаются не больше чем в двух точках, симметричных относительно прямой через центры. На чертеже это $X$ и $X^*$, симметричные относительно $AB$.

Третье расстояние выбирает одну из двух. Точка $C$ не лежит на прямой $AB$, то есть на серединном перпендикуляре к $XX^*$, поэтому $CX \ne CX^*$. Из двух кандидатов подходит только тот, чьё расстояние до $C'$ равно $CX$. Если $A' = A$, $B' = B$, $C' = C$, этот кандидат — сама точка $X$.

Любое движение плоскости можно записать как композицию не более чем трёх осевых симметрий.

Возьмём треугольник $ABC$ и его образ $A'B'C'$ при данном движении. Будем ставить зеркала по одному, каждый раз приводя на место ещё одну вершину и не сдвигая уже поставленные.

Если $A \ne A'$, отразим всё в серединном перпендикуляре к $AA'$: вершина $A$ попадёт в $A'$. Остальные вершины куда-то переедут; назовём их $B_1$ и $C_1$.

Если $B_1 \ne B'$, отразим в серединном перпендикуляре к $B_1B'$. Он проходит через $A'$, ведь $A'B_1 = AB = A'B'$: точка $A'$ одинаково удалена от $B_1$ и $B'$. Поэтому $A'$ остаётся на месте, а $B_1$ попадает в $B'$. Третья вершина переезжает в $C_2$.

Если $C_2 \ne C'$, то $A'C_2 = A'C'$ и $B'C_2 = B'C'$: обе точки $A'$ и $B'$ лежат на серединном перпендикуляре к $C_2C'$, то есть этот перпендикуляр — прямая $A'B'$. Отражение в ней не трогает $A'$ и $B'$ и отправляет $C_2$ в $C'$.

Не больше трёх отражений перевели $A$, $B$, $C$ туда же, куда и данное движение. По лемме о трёх точках два движения, одинаково действующие на три точки не на одной прямой, совпадают. Значит, наше движение и есть композиция этих отражений.

Осталось понять, что дают три отражения. Ноль отражений — тождественное преобразование, одно — осевая симметрия, два — поворот или перенос. С тремя справится приём с поворотом пары зеркал.

Любое движение плоскости — это тождественное преобразование, параллельный перенос, поворот, осевая симметрия или скользящая симметрия.

Случаи нуля, одного и двух отражений уже разобраны; остаётся композиция трёх. Будем переставлять зеркала так, чтобы результат не менялся, пока расположение не станет простым. Результат, зелёный флажок, всё это время стоит на месте.

Пусть движение — это отражения сначала в $\ell$, потом в $m$, потом в $n$, и пусть $m$ и $n$ пересекаются в точке $Q$ (случай параллельных — в конце).

Повернём $m$ и $n$ вокруг $Q$ на один и тот же угол так, чтобы $m$ стала перпендикулярной $\ell$. Угол между зеркалами и их общая точка не изменились, поэтому по теореме о двух отражениях они дают тот же поворот, и всё движение осталось прежним. Новые зеркала назовём $m'$ и $n'$.

Теперь $\ell \perp m'$, и отражения в них вместе дают поворот на $2 \cdot 90^\circ = 180^\circ$ вокруг их общей точки $P$. Такой же поворот дают любые две перпендикулярные прямые через $P$, в любом порядке. Повернём пару вокруг $P$ так, чтобы одна прямая, $q$, стала параллельной $n'$, а другая, $p$, — перпендикулярной ей. Движение теперь — отражения в $p$, потом в $q$, потом в $n'$.

Прямые $q$ и $n'$ параллельны, и два отражения в них — перенос перпендикулярно им, то есть вдоль прямой $p$, на удвоенное расстояние между $q$ и $n'$.

Итог: отражение в $p$, а затем перенос вдоль $p$ — скользящая симметрия с осью $p$, а если перенос нулевой, то просто отражение. Если $m \parallel n$, но $\ell$ и $m$ пересекаются, тот же приём применяют к паре $\ell$, $m$: поворачивают её, пока $m$ не станет перпендикулярной $n$. А если все три зеркала параллельны, пару $\ell$, $m$ сдвигают, не меняя переноса, так, чтобы $m$ совпала с $n$; два одинаковых отражения подряд взаимно уничтожаются, и остаётся одно отражение.

У движений очень короткий список, и его удобно держать перед глазами как таблицу.

Движение	Ориентация	Неподвижные точки	Сколько отражений
тождественное	сохраняет	все	0
осевая симметрия	меняет	прямая	1
поворот	сохраняет	одна точка	2
перенос	сохраняет	нет	2
скользящая симметрия	меняет	нет	3

Каждое отражение переворачивает ориентацию, поэтому чётное число отражений её сохраняет, а нечётное меняет. Поворот нельзя записать тремя отражениями, а скользящую симметрию — двумя.

Поворот в координатах

Штурман из прошлой главы считал в координатах, и движения туда тоже переводятся. С переносом всё просто: $(x;\,y) \mapsto (x + v_1;\; y + v_2)$. Поворот вокруг начала координат требует тригонометрии.

Вклад первой координаты: $x$ единичных векторов $\vec i$, повёрнутых на $\varphi$, то есть $x\,(\cos\varphi;\,\sin\varphi)$.

Вклад второй: $y$ повёрнутых векторов $\vec j$, то есть $y\,(-\sin\varphi;\,\cos\varphi)$.

Пример: при $\varphi = 90^\circ$ имеем $\cos\varphi = 0$, $\sin\varphi = 1$, и точка $(3;\,1)$ переходит в $(-1;\,3)$. При $\varphi = 60^\circ$ точка $(2;\,0)$ переходит в $(1;\,\sqrt3)$.

Повернём не точку, а прямоугольник, диагональ которого — её радиус-вектор. Стороны прямоугольника повернуть легко.

Вектор $\vec v = (x;\,y)$ — диагональ прямоугольника со сторонами $x\,\vec i$ и $y\,\vec j$: $\vec v = x\,\vec i + y\,\vec j$.

Повернём весь прямоугольник вокруг начала координат на угол $\varphi$. Поворот — движение, поэтому прямоугольник переходит в равный прямоугольник, а его стороны — в $x\,R(\vec i)$ и $y\,R(\vec j)$, где $R(\vec i)$ и $R(\vec j)$ — повёрнутые единичные векторы. Диагональ повёрнутого прямоугольника — это $R(\vec v)$, и по правилу параллелограмма $R(\vec v) = x\,R(\vec i) + y\,R(\vec j)$.

Вектор $R(\vec i)$ — единичный и повёрнут от оси $x$ на угол $\varphi$, так что по определению синуса и косинуса на единичной окружности его координаты — $(\cos\varphi;\,\sin\varphi)$. Вектор $R(\vec j)$ получается из $R(\vec i)$ ещё одним поворотом на $90^\circ$, а такой поворот переводит $(a_1;\,a_2)$ в $(-a_2;\,a_1)$ (глава 22). Значит, $R(\vec j) = (-\sin\varphi;\,\cos\varphi)$.

Складываем по координатам: $R(\vec v) = x\,(\cos\varphi;\,\sin\varphi) + y\,(-\sin\varphi;\,\cos\varphi) = (x\cos\varphi - y\sin\varphi;\;\; x\sin\varphi + y\cos\varphi)$.

Отражение в прямой, которая проходит через начало координат под углом $\alpha$ к оси $x$, тоже записывается коротко: $(x;\,y) \mapsto (x\cos 2\alpha + y\sin 2\alpha;\;\; x\sin 2\alpha - y\cos 2\alpha)$. Проверяется это так же, как поворот: вектор $\vec i$ после отражения образует с осью $x$ угол $2\alpha$ и становится $(\cos 2\alpha;\,\sin 2\alpha)$, а $\vec j$ — угол $2\alpha - 90^\circ$ и становится $(\sin 2\alpha;\,-\cos 2\alpha)$. Подставив одну такую формулу в другую и воспользовавшись формулами сложения, получим теорему о двух отражениях в числах: отражение в прямой под углом $\alpha$, а затем под углом $\beta$ — это поворот на $2(\beta - \alpha)$.

Точку $(3;\,1)$ повернули вокруг начала координат на $90^\circ$ против часовой стрелки. Найдите координаты образа.

При $\cos 90^\circ = 0$ и $\sin 90^\circ = 1$ формула даёт $x' = 3 \cdot 0 - 1 \cdot 1 = -1$, $y' = 3 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 3$. Получается $(-1;\,3)$. Проверка: длина $\sqrt{10}$ не изменилась, а скалярное произведение $(3;\,1) \cdot (-1;\,3) = 0$ — угол прямой.

Бабочка, снежинка, трискелион

Теперь начнём печатать. Возьмём фигуру и спросим, какие движения переводят её в себя.

Симметрия фигуры — движение, которое переводит фигуру в себя. Тождественное преобразование — симметрия любой фигуры.

У бабочки одна нетривиальная симметрия — отражение в оси тела. У буквы «S» — поворот на $180^\circ$. У трискелиона, трёх бегущих ног на флаге острова Мэн, — повороты на $120^\circ$ и $240^\circ$, а зеркальной симметрии нет: отражение заставило бы ноги бежать в другую сторону. У квадрата восемь симметрий: четыре поворота и четыре отражения. У снежинки двенадцать: шесть поворотов и шесть отражений.

Набор симметрий фигуры устроен по правилам. Композиция двух симметрий — снова симметрия: если каждое движение возвращает фигуру на место, то и оба подряд. Движение, обратное симметрии, — тоже симметрия. Наборы с такими свойствами в главе 40 назовут группами, и симметрии квадрата станут там первым примером. Пока же научимся такие наборы изготавливать.

Калейдоскоп запатентовал шотландский физик Дэвид Брюстер в 1817 году. В простейшем калейдоскопе внутри трубки — два зеркала под углом $\frac{180^\circ}{n}$ и цветные стёклышки между ними. По теореме о двух отражениях зеркала дают поворот на $\frac{360^\circ}{n}$, а все отражения вместе — розетку с $n$ поворотами и $n$ осями.

Рисуйте внутри круга — каждый штрих повторяется всеми симметриями. Выключите зеркала: останутся только повороты, и узор закрутится в одну сторону.

Сколько бы вы ни рисовали, у розетки всегда будет один из двух наборов: либо только $n$ поворотов вокруг центра (такой набор обозначают $C_n$), либо эти повороты вместе с $n$ отражениями в осях через центр (набор $D_n$). Это не свойство калейдоскопа, а теорема.

Если у фигуры конечное число симметрий, то все они оставляют на месте одну и ту же точку $G$ и составляют один из двух наборов: $C_n$ — повороты вокруг $G$ на углы, кратные $\frac{360^\circ}{n}$, или $D_n$ — те же повороты и ещё $n$ отражений в прямых через $G$.

Хитрость в том, чтобы найти общую неподвижную точку — центр тяжести образов одной точки. Дальше всё решает наименьший угол поворота.

Возьмём любую точку $X$ и применим к ней все симметрии фигуры. Получится конечный набор точек $X_1, \dots, X_k$ — образы $X$.

Пусть $G$ — их центр тяжести, точка со средними координатами. Любая симметрия $g$ переставляет эти точки: $g(X_i) = g(h(X))$ для некоторой симметрии $h$, а композиция $g \circ h$ — снова симметрия, так что $g(X_i)$ тоже в наборе. Движение переводит среднее точек в среднее образов: в координатах это поворот или отражение и перенос, $g(x;\,y) = x\,\vec a + y\,\vec b + \vec c$, а такая формула перестановочна с усреднением. Значит, $g(G)$ — центр тяжести тех же точек, то есть $g(G) = G$.

Все симметрии оставляют $G$ на месте. По классификации движение с неподвижной точкой — это тождественное, поворот вокруг неё или отражение в прямой через неё: у переносов и скользящих симметрий неподвижных точек нет. Поворотов конечное число; пусть $\varphi$ — наименьший положительный угол среди них.

Любой угол поворота $\psi$ кратен $\varphi$. Иначе $\psi = k\varphi + r$ с $0 < r < \varphi$, и поворот на $\psi$, а затем на $-k\varphi$ дал бы симметрию — поворот на $r$, меньший $\varphi$. По той же причине $360^\circ$ кратен $\varphi$: $\varphi = \frac{360^\circ}{n}$, и поворотов ровно $n$. Это набор $C_n$.

Если есть хоть одно отражение $s$, то для каждого поворота $r$ композиция $r \circ s$ меняет ориентацию и оставляет $G$ на месте — это отражение, и для разных поворотов они разные. Обратно, любое отражение $s'$ даёт поворот $s' \circ s$ (два отражения с общей точкой), и тогда $s' = (s' \circ s) \circ s$, ведь $s \circ s$ — тождественное. Отражений ровно столько же, сколько поворотов, — $n$. Это набор $D_n$.

Сколько симметрий у правильного шестиугольника?

Шесть поворотов вокруг центра на углы, кратные $60^\circ$ (включая нулевой), и шесть отражений: три оси через противоположные вершины и три через середины противоположных сторон. Всего $12$ — это набор $D_6$, как у снежинки.

Бордюр: семь способов пройтись

Теперь повторим мотив вдоль полосы. Такие ленточные узоры есть на греческих вазах, в вышивке на рукаве, на решётке балкона и на рулоне бумажной ленты.

Бордюр — узор на бесконечной полосе, который переходит в себя при переносе вдоль полосы. Среди таких переносов есть кратчайший, и все остальные — его кратные.

Кроме переносов, у бордюра могут быть и другие симметрии, и их сочетаний оказывается ровно семь. Джон Конвей предложил запоминать их по следам: каждый тип — это походка человека, который идёт вдоль полосы.

Набор симметрий любого бордюра — один из семи: только переносы («прыжки на одной ноге»); скользящая симметрия («шаги»); вертикальные зеркала («приставной шаг»); повороты на $180^\circ$ («прыжки с поворотом»); вертикальные зеркала, повороты и скользящая симметрия («приставной шаг с поворотом»); горизонтальное зеркало («прыжки на двух ногах»); горизонтальное и вертикальные зеркала с поворотами («прыжки на двух ногах с поворотом»).

Выясним, какие движения вообще переводят полосу в себя, а потом — какие из них уживаются вместе.

Движение, которое переводит полосу в себя, переводит в себя и её среднюю линию — единственную прямую, равноудалённую от краёв. Прямую в себя переводят только переносы вдоль неё, отражение в ней самой (горизонтальное зеркало), отражения в перпендикулярных ей прямых (вертикальные зеркала), повороты на $180^\circ$ вокруг её точек и скользящие симметрии с осью на ней. Повороты на другие углы наклоняют прямую, а отражения и скользящие симметрии с другими осями её сдвигают.

Разделим симметрии бордюра на две кучки: первая сохраняет направление вдоль полосы (переносы, горизонтальное зеркало, скользящие симметрии), вторая меняет его на противоположное (вертикальные зеркала и повороты на $180^\circ$). Композиция двух движений из второй кучки дважды разворачивает направление и попадает в первую; композиция движений из разных кучек попадает во вторую.

Первая кучка бывает трёх видов. Пусть $t$ — длина кратчайшего переноса. (а) Только переносы. (б) Есть горизонтальное зеркало. (в) Зеркала нет, но есть скользящая симметрия; тогда её сдвиг равен половине $t$ с точностью до кратного $t$. Действительно, дважды выполненная скользящая симметрия — перенос на удвоенный сдвиг, он кратен $t$; а если бы сам сдвиг был кратен $t$, то, добавив обратный перенос, мы получили бы горизонтальное зеркало.

Вторая кучка либо пуста, либо целиком восстанавливается по одному своему элементу $g$: любой другой её элемент $h$ равен $g \circ (g^{-1} \circ h)$, а $g^{-1} \circ h$ лежит в первой кучке. В случае (а) элемент $g$ — вертикальное зеркало или поворот, но не оба сразу: вертикальное зеркало и поворот вместе дали бы движение из первой кучки, меняющее ориентацию, то есть горизонтальное зеркало или скользящую симметрию, а их в случае (а) нет. В случаях (б) и (в) вертикальное зеркало тянет за собой поворот и наоборот: их композиция с горизонтальным зеркалом или скользящей симметрией даёт недостающий элемент.

Случай (а) даёт три набора: одни переносы, переносы с вертикальными зеркалами, переносы с поворотами. Случаи (б) и (в) — по два: без второй кучки и с ней. Всего $3 + 2 + 2 = 7$, и все семь встречаются: их рисуют следы на кнопках в опыте ниже.

Чтобы определить тип бордюра, хватает четырёх вопросов, заданных по порядку, как в ботаническом определителе:

Есть ли горизонтальное зеркало? Если да, то при вертикальных зеркалах это «прыжки на двух ногах с поворотом», без них — «прыжки на двух ногах».
Есть ли вертикальные зеркала? Если да, то при поворотах на $180^\circ$ это «приставной шаг с поворотом», без них — «приставной шаг».
Есть ли повороты на $180^\circ$? Если да — «прыжки с поворотом».
Есть ли скользящая симметрия? Если да — «шаги», если нет — «прыжки на одной ноге».

В режиме «рисовать» выберите тип и рисуйте в полосе — мотив повторяется по правилам типа. В режиме «определить» бордюр загадывает случайный мотив и тип; узнайте тип и сверьтесь со следами на кнопках.

Обои: семнадцать

Наконец, повторим мотив сразу в двух направлениях, как плитку на полу или рисунок на обоях.

Узор обоев (периодический узор) — узор на плоскости, который переходит в себя при переносах на два непараллельных вектора. Все его переносы складываются из целых кратных двух кратчайших и образуют решётку.

Какие повороты могут быть у такого узора? Поворот на $90^\circ$ есть у квадратной плитки, на $60^\circ$ — у шестиугольных сот, на $120^\circ$ — у треугольной сетки. А правильными пятиугольниками пол не замостишь, и это не случайность.

Если узор обоев переходит в себя при повороте на $\frac{360^\circ}{n}$ вокруг какой-то точки, то $n$ равно $1$, $2$, $3$, $4$ или $6$.

Возьмём два самых близких центра поворота и покажем, что при «запрещённых» $n$ нашлись бы ещё более близкие.

Точку, вокруг которой узор переходит в себя при повороте на $\theta = \frac{360^\circ}{n}$, назовём центром порядка $n$. При любом переносе узора такой центр переходит в другой такой же, так что центров много. Сколь угодно близкими они быть не могут: поворот вокруг одного центра и обратный поворот вокруг другого вместе дают перенос длиной не больше удвоенного расстояния между ними, а переносов короче кратчайшего у узора нет. Поэтому есть два самых близких центра порядка $n$ — $A$ и $B$.

Повернём точку $B$ вокруг $A$ на $\theta$ и получим $B'$. Поворот вокруг $A$ — симметрия узора, а симметрия переводит центр порядка $n$ в центр того же порядка. Значит, $B'$ — тоже центр порядка $n$.

Так же повернём $A$ вокруг $B$ на $-\theta$ и получим центр $A'$.

Положим $AB = 1$, $A = (0;\,0)$, $B = (1;\,0)$. Тогда $B' = (\cos\theta;\,\sin\theta)$ и $A' = (1 - \cos\theta;\,\sin\theta)$, так что $A'B' = |1 - 2\cos\theta|$. При $n = 5$ получается $|1 - 2\cos 72^\circ| \approx 0{,}38$, а при $n \ge 7$ угол $\theta$ меньше $60^\circ$ и $0 < 2\cos\theta - 1 < 1$. В обоих случаях $A'$ и $B'$ оказываются разными центрами, более близкими, чем $A$ и $B$, а это противоречит выбору $A$ и $B$. Остаются $n = 2$, $3$, $4$, при которых $A'B' \ge AB$, и $n = 6$, при котором $A' = B'$.

Пятикратная симметрия в природе всё же встречается — у морской звезды, у цветка шиповника, у многих вирусов. Запрет касается только узоров, которые повторяются переносами. В 1974 году Роджер Пенроуз придумал замощения из двух видов ромбов с пятикратной симметрией, которые нигде не повторяются. А в 1982 году Дан Шехтман получил сплав, чья картина дифракции имела симметрию десятого порядка, невозможную для кристалла. Такие вещества назвали квазикристаллами, и в 2011 году Шехтман получил за них Нобелевскую премию по химии. Замощения Пенроуза можно построить в «Узорах», в слое «Квазипериодические замощения».

Решётка, повороты порядков $2$, $3$, $4$, $6$ и возможные зеркала и скользящие симметрии дают ровно семнадцать типов узоров обоев. Эту классификацию опубликовали в 1891 году русский кристаллограф Евграф Фёдоров и, независимо, Артур Шёнфлис; в 1924 году Дьёрдь Пойа снова вывел все семнадцать и нарисовал к каждому пример. Доказательство — длинный, но элементарный перебор того же рода, что для бордюров: разбирают, каким может быть наибольший поворот, какая решётка с ним совместима и как к поворотам добавляются зеркала и скользящие симметрии. Целиком он занял бы отдельную главу, поэтому здесь мы его не приводим.

Выберите группу и рисуйте: штрих повторится всеми её симметриями. Названия — международные обозначения: цифра — наибольший порядок поворота, $m$ — зеркало, $g$ — скользящая симметрия, $c$ — центрированная решётка. Переключатель «симметрии» показывает зеркала, оси скользящих симметрий и центры поворотов.

Нидерландский художник Мауриц Эшер в 1922 и 1936 годах побывал в Альгамбре, дворце в Гранаде с мавританскими мозаиками, и зарисовывал её орнаменты. Вскоре после второй поездки брат-геолог указал ему на кристаллографические статьи, среди них — статью Пойа с таблицей всех семнадцати групп, и Эшер стал строить свои знаменитые мозаики из птиц, рыб и ящериц по этим правилам. Про саму Альгамбру часто пишут, что в ней есть все семнадцать групп. Это спорно: одни исследователи их там насчитывают, другие, например Бранко Грюнбаум в 2006 году, находят не все; ответ зависит от того, какие узоры считать и учитывать ли цвет.

Поиграть дальше можно в утилите «Узоры». Слой «Симметрия обоев» повторяет любую картинку по одной из семнадцати групп, «Калейдоскоп» строит розетки $C_n$ и $D_n$, а исламские звёздные узоры показывают, как из простой решётки вырастают гирихи.

Может ли узор обоев переходить в себя при повороте на $72^\circ$?

$72^\circ = \frac{360^\circ}{5}$, а по кристаллографическому ограничению $n$ может быть только $1$, $2$, $3$, $4$ или $6$. Правильные пятиугольники плоскость без щелей не покрывают: их угол $108^\circ$ не делит $360^\circ$.

Подобие и гомотетия

Движения сохраняют размеры. Отпустим это требование и разрешим растягивать — одинаково во всех направлениях.

Гомотетия с центром $O$ и коэффициентом $k \ne 0$ переводит каждую точку $X$ в такую точку $X'$, что $\overrightarrow{OX'} = k\,\overrightarrow{OX}$.

Двигайте центр $O$ и меняйте $k$. Что происходит при $k = 1$, при $k = -1$ и при отрицательных $k$?

Гомотетия с коэффициентом $k$ переводит любой отрезок $XY$ в отрезок $X'Y'$, для которого $\overrightarrow{X'Y'} = k\,\overrightarrow{XY}$: он параллелен $XY$ (или лежит с ним на одной прямой) и в $|k|$ раз длиннее. Поэтому углы гомотетия сохраняет, а площади умножает на $k^2$.

По определению $\overrightarrow{OX'} = k\,\overrightarrow{OX}$ и $\overrightarrow{OY'} = k\,\overrightarrow{OY}$. Вычтем: $\overrightarrow{X'Y'} = \overrightarrow{OY'} - \overrightarrow{OX'} = k\,(\overrightarrow{OY} - \overrightarrow{OX}) = k\,\overrightarrow{XY}$ — здесь сработал распределительный закон. Значит, векторы $\overrightarrow{X'Y'}$ и $\overrightarrow{XY}$ коллинеарны, а их длины отличаются в $|k|$ раз. Треугольник переходит в треугольник со сторонами в $|k|$ раз длиннее, то есть в подобный, и углы у них равны. Квадрат со стороной $a$ переходит в квадрат со стороной $|k|a$ и площадью $k^2a^2$; для других фигур множитель $k^2$ получается так же, как в главе о площади, где любую фигуру приближают квадратиками.

Преобразование подобия — преобразование, которое умножает все расстояния на одно и то же число $k > 0$. Любое такое преобразование — гомотетия с коэффициентом $k$, за которой следует движение: если после него выполнить гомотетию с коэффициентом $\frac1k$, расстояния станут прежними. Две фигуры подобны, если одну можно перевести в другую преобразованием подобия; для треугольников это совпадает с определением из главы 17.

Гомотетия уже работала на нас, хотя и без имени. В главе 17 прямую Эйлера доказали, сжав плоскость вдвое к центроиду $G$ и развернув её на пол-оборота, — это гомотетия с центром $G$ и коэффициентом $-\frac12$: вершины переходят в середины сторон, высоты — в серединные перпендикуляры. На гомотетии основан пантограф, которым с начала XVII века переносят чертежи в другом масштабе; его придумал иезуит-астроном Кристоф Шейнер. На ней же держится диапроектор: картинка на экране — гомотетичный образ слайда с центром в объективе и отрицательным коэффициентом, поэтому слайды вставляют вверх ногами.

Анонс: инверсия

Последний инструмент мастерской искривляет прямые, так что это уже не движение. Зато он сохраняет углы и отвечает за самые странные гравюры Эшера.

Инверсия относительно окружности с центром $O$ и радиусом $R$ переводит точку $X \ne O$ в точку $X'$ на луче $OX$, для которой $OX \cdot OX' = R^2$.

Точки самой окружности остаются на месте, внутренность круга выворачивается наружу, и наоборот: точка на расстоянии $\frac R2$ от центра уходит на расстояние $2R$. У инверсии удивительные свойства, которые мы докажем, когда они понадобятся: прямые, не проходящие через $O$, она превращает в окружности, проходящие через $O$ (без самой точки $O$), окружности — в окружности или прямые, а углы между кривыми сохраняет. В главе 58 инверсии станут «отражениями» в геометрии Лобачевского на модели Пуанкаре — внутри круга, где прямыми служат дуги окружностей, перпендикулярных его краю. Так нарисованы гравюры Эшера «Предел — круг» (1958–1960), где рыбы, ангелы и черти мельчают к краю диска. Похожие узоры строит слой «Гиперболические замощения» в «Узорах».

Куда дальше

Самая симметричная фигура на плоскости — окружность: её переводят в себя все повороты вокруг центра и все отражения в диаметрах, симметрий бесконечно много. Поставим окружность в основание конуса и рассечём конус наклонной плоскостью. В сечении получится эллипс, и от бесконечного набора симметрий останется четыре; наклоним плоскость сильнее — получится парабола, у которой только одно отражение. Эти кривые греки изучали, чтобы удвоить куб, а через две тысячи лет Кеплер обнаружил, что по одной из них движется каждая планета. Какие кривые получаются при сечении конуса и почему они так важны — глава 24.