Царица наук EN

Царица наук

Приложения

Все главы курса по темам, уровням и частям. Можно выбрать несколько тем сразу — например, «Головоломки» и «Вероятность».

11 Системы уравнений и неравенства Когда условий несколько, одного уравнения мало. Откроем маленькую мастерскую игрушек: найдём цены по двум накладным, посчитаем на древнекитайской счётной доске, упрёмся в ограничения склада и выясним, почему самый выгодный план всегда стоит в углу. 5–9 класс 45 мин 12 Степени и логарифмы Величина, которая на каждом шаге умножается, рано или поздно перерастает любую, которая прибавляется, и обычно раньше, чем кажется. Устроим гонку ростов, а потом найдём инструмент, который превращает умножение в сложение и укрощает астрономические числа. 5–9 класс 40 мин 14 Многочлены В 1535 году в Венеции два математика обменялись тридцатью задачами, и все задачи одного из них были кубическими уравнениями. Проследим историю этого поединка до конца, а по дороге соберём оружие, которым с тех пор решают уравнения высоких степеней. 10–11 класс 50 мин 21 Тригонометрия Экспедиция землемеров: от тени шеста к ширине реки, высоте горы и размеру всей Земли. По дороге углы превращаются в числа — синус, косинус, тангенс, — а окружность разматывается в волну. 10–11 класс 60 мин 22 Векторы и координаты Мотор тянет лодку в одну сторону, течение — в другую, ветер дует в третью. Штурман складывает всё это стрелками и считает со стрелками так же уверенно, как с числами. 10–11 класс 45 мин 23 Симметрия и преобразования Мастерская орнаментов: рисуем мотив, а зеркала, повороты и сдвиги превращают его в розетку, бордюр и обои. По дороге выяснится, что способов подвинуть плоскость без искажений всего четыре, а способов повторить узор по всей плоскости — семнадцать. 10–11 класс 55 мин 24 Конические сечения Рассечём конус плоскостью — и получим кривые, по которым летают планеты, кометы и межзвёздные гости. Одна ночь в обсерватории: от чертежей Аполлония до спутниковых тарелок и орбиты Земли. 10–11 класс 50 мин 26 Производная Что на самом деле показывает спидометр? Сядем в машину с видеорегистратором, превратим среднюю скорость в мгновенную и научимся находить наклон любого гладкого графика в любой его точке. 10–11 класс 50 мин 27 Экстремумы и оптимизация Конкурс изобретателей: коробка из листа, камера на трассе, спасатель на пляже, консервная банка и корень из двух на калькуляторе без кнопки корня. В каждом задании вариантов бесконечно много, и производная находит лучший. 10–11 класс 50 мин 28 Интеграл Биография одной идеи: разрезать фигуру на тонкие полоски и сложить их. Она родилась в Сиракузах, повзрослела в век неделимых, встретилась с касательной у Ньютона и Лейбница и получила строгое определение от Римана. 10–11 класс 55 мин 29 Число e и экспонента Одно и то же число 2,71828… замечали в банке, на графике, под гиперболой, в радиоактивном распаде, на окружности, в гардеробе и на смотринах невесты. Запишем все встречи с ним, как натуралист в полевом дневнике, и выясним, одно ли это число или несколько похожих. 10–11 класс 55 мин 31 Дифференциальные уравнения Законы природы редко говорят, сколько чего будет, — они говорят, как быстро это меняется. Заходим в лабораторию, где из таких законов выращивают процессы: остывающий кофе, пружину, волков и зайцев, эпидемию. И выясняем, почему однозначное будущее ещё не значит предсказуемое. 1–2 курс 55 мин 32 Функции многих переменных Высота на горном склоне зависит сразу от двух координат. Возьмём карту, лупу и компас и выясним, куда такая функция растёт быстрее всего, где у неё вершины и перевалы и почему площадь под колоколом Гаусса равна корню из π. 1–2 курс 60 мин 33 Ряды Фурье Звук скрипки, температуру в кольце и контур, нарисованный пальцем, можно разобрать на синусоиды и собрать обратно. Узнаем, как по кривой найти её гармоники, почему у ступеньки всегда остаётся звон и как тот же приём сжимает фотографии и музыку. 1–2 курс 55 мин 38 Собственные векторы Обычно матрица поворачивает векторы, но у многих матриц есть направления, которые она только растягивает. Найдём их — и окажется, что числа Фибоначчи, поисковик Google и наклонный эллипс устроены одинаково. 1–2 курс 50 мин 39 Ортогональность, МНК и SVD Лаборатория данных: замеры не ложатся на прямую, облако точек вытянуто наискосок, фотография занимает слишком много места. Со всеми тремя задачами справляется одна идея — опустить перпендикуляр. 1–2 курс 60 мин 41 Арифметика остатков и шифры Как договориться о секрете, если ваш разговор слышат все? Мастерская шифровальщика: колесо Цезаря, обмен ключами, RSA — и арифметика остатков, на которой держится каждый из этих замков. 1–2 курс 55 мин 42 Кольца, поля и коды Как исправить ошибку в сообщении, если переспросить нельзя? Журнал инженера: от тройного повтора и трёх кругов Хэмминга до полей Галуа и кодов Рида — Соломона, которые спрятаны в каждом QR-коде. 1–2 курс 55 мин 44 Дзета-функция и эллиптические кривые Насколько точна формула Гаусса для числа простых? Ответ спрятан в нулях одной функции комплексного переменного, и где лежат все эти нули, не знает никто. По соседству — кривые третьей степени, на которых точки складываются, как числа: они доказали теорему Ферма и охраняют ваш банк. 3 курс и выше 70 мин 47 Вероятность Суд над интуицией: семь дел об ошибках рассуждений о шансах — за игорным столом, в телестудии, в кабинете врача и в зале суда. Научимся считать вероятности и узнавать ловушки, в которые попадали игроки, профессора и присяжные. 10–11 класс 50 мин 48 Случайные величины Лаборатория случайности: бросаем кости и иглы, роняем шарики на гвозди, считаем удары копытом. Каждый закон сначала наблюдаем в опыте, потом доказываем — и видим, почему среднее многих случайных чисел почти не случайно. 1–2 курс 60 мин 49 Статистика Пять газетных заголовков — пять разборов. Средняя зарплата, опрос с погрешностью в три процента, «доказанное» лекарство, шоколад и Нобелевские премии, приём в университет: учимся судить о целом по выборке и не обманывать себя. 1–2 курс 55 мин 50 Цепи Маркова и информация Буквы в тексте зависят от предыдущих, погода — от вчерашней. Посчитаем эту зависимость, как Марков в «Евгении Онегине», и измерим, сколько информации несёт буква, как Шеннон. 1–2 курс 50 мин 55 Функциональный анализ Функция — точка пространства, у которого бесконечно много измерений. В нём есть длины, углы и проекции, теорема Пифагора с бесконечным числом катетов снова даёт π²/6, а неподвижная точка сжатия рисует папоротник. Но кое-что из привычного на этой границе ломается. 3 курс и выше 60 мин 58 Неевклидовы геометрии Дневник путешествия по трём мирам. На плоскости сумма углов треугольника — ровно 180°, на сфере больше, а в мире Лобачевского меньше, и там через точку проходит бесконечно много параллельных. 1–2 курс 60 мин 59 Хаос и фракталы Формула в одну строчку, три уравнения Лоренца, игра в кости — и поведение, которое не предскажет никакой компьютер. Лабораторный журнал из девяти опытов: почему погоду нельзя предсказать на месяц вперёд и откуда у берега дробная размерность. 1–2 курс 60 мин
Царица наук

Главы курса

Вступление

  1. 0 Что такое математика

I Числа

  1. 1 Счёт
  2. 2 Ноль и минус
  3. 3 Простые числа
  4. 4 Делимость
  5. 5 Дроби
  6. 6 Корень из двух

II Алгебра

  1. 7 Буквы
  2. 8 Уравнения
  3. 9 Функции и графики
  4. 10 Квадратные уравнения
  5. 11 Системы и неравенства
  6. 12 Степени и логарифмы
  7. 13 Последовательности
  8. 14 Многочлены
  9. 15 Комплексные числа

III Геометрия

  1. 16 Начала Евклида
  2. 17 Треугольник
  3. 18 Теорема Пифагора
  4. 19 Окружность и π
  5. 20 Площадь и объём
  6. 21 Тригонометрия
  7. 22 Векторы
  8. 23 Симметрия
  9. 24 Конические сечения

IV Анализ

  1. 25 Пределы
  2. 26 Производная
  3. 27 Экстремумы
  4. 28 Интеграл
  5. 29 Число e
  6. 30 Ряды
  7. 31 Дифференциальные уравнения
  8. 32 Многие переменные
  9. 33 Ряды Фурье
  10. 34 Комплексный анализ

V Линейная алгебра

  1. 35 Матрицы
  2. 36 Метод Гаусса
  3. 37 Векторные пространства
  4. 38 Собственные векторы
  5. 39 МНК и SVD

VI Структуры

  1. 40 Группы
  2. 41 Остатки и шифры
  3. 42 Кольца и поля
  4. 43 Теория Галуа
  5. 44 Дзета и кривые

VII Случай и данные

  1. 45 Комбинаторика
  2. 46 Графы
  3. 47 Вероятность
  4. 48 Случайные величины
  5. 49 Статистика
  6. 50 Марков и информация

VIII Основания

  1. 51 Логика и множества
  2. 52 Бесконечности
  3. 53 Строгий анализ
  4. 54 Мера и интеграл
  5. 55 Функциональный анализ
  6. 56 Гёдель и Тьюринг

IX Горизонты

  1. 57 Топология
  2. 58 Неевклидовы геометрии
  3. 59 Хаос и фракталы
  4. 60 Передний край