Калейдоскоп — трубку с зеркалами и горстью цветных стёкол — придумал в 1816 году шотландский физик Дэвид Брюстер, изучая поляризацию света при многократных отражениях. Здесь вместо стёкол — картинка нижних слоёв: эффект вырезает из неё клин и раскладывает по кругу. Получается розетка, как окно-роза готического собора или снежинка.
Как это устроено
Угол θ каждой точки экрана сворачивается в один сектор шириной 2π/n, где n — «Порядок». В группе Cn на этом всё: вертушка из n одинаковых поворотов. В группе Dn половинки сектора ещё и отражаются друг в друге — так работают два зеркала, сходящиеся под углом 180°/n. Поэтому в настоящем калейдоскопе число n обязано быть целым, иначе виден шов. Свёрнутая точка переносится в участок картинки, который выбирают «Мотив по X», «Мотив по Y» и «Увеличение».
«Дросте» работает в лог-полярных координатах w = ln r + iθ. В них бесконечная вложенность становится обычной периодичностью: кольцо картинки между радиусами R/k и R повторяется со сдвигом ln k, где k — «Шаг колец». В Dn соседние кольца ещё и отражены — это инверсия в окружности, круглое зеркало. «Спираль Эшера» перекашивает лог-полярную плоскость так, что за оборот вокруг центра картинка поднимается на m колец («Витки спирали»). В обычных координатах это комплексная степень z ↦ z^α — конформное отображение: мелкие детали поворачиваются и масштабируются, но не перекашиваются.
Немного истории
Брюстер запатентовал игрушку в 1817 году, и за считаные месяцы её раскупили сотнями тысяч. Математика старше: то, что конечные группы симметрий плоскости исчерпываются Cn и Dn, по сути знал Леонардо да Винчи, прикидывая, как пристроить капеллы к центрическому храму, — Герман Вейль в «Симметрии» (1952) назвал это теоремой Леонардо. Эффект Дросте назван по коробке какао 1904 года, где медсестра держит поднос с той же коробкой. В 1956 году Эшер создал литографию «Картинная галерея» с закрученной вложенностью и пустым пятном в центре. В 2003 году Барт де Смит и Хендрик Ленстра показали, что сетка Эшера — именно такая комплексная степень, и дорисовали пятно.
Что покрутить
- Главный рычаг — «Мотив по X» и «Мотив по Y»: сдвиг на пару процентов меняет розетку целиком.
- «Порядок» 5 или 7 даёт розетки, невозможные в периодических обоях: там допустимы только повороты порядков 2, 3, 4 и 6.
- Бесконечный наезд: «Дросте» → «кольца», «Вращение» 1. За петлю анимации картинка проваливается ровно на одно кольцо, и цикл замыкается без шва.
- Лучше всего калейдоскоп раскрывается над «Фрактальным шумом», «Реакцией–диффузией» и «Фрактальными пламенами»: в них есть и крупные формы, и мелкая фактура — клину всегда есть что отразить.
Симметрия обоев
Искажение
Мозаика
Растр
Дизеринг
Перекраска палитрой
Рельеф
Размытие
Свечение
Зерно
Виньетка
RGB-сдвиг