Мозаику Пенроуза можно продолжать бесконечно, но никакой сдвиг не совмещает её с самой собой. При этом порядка в ней хоть отбавляй: всюду проступают пятилучевые звёзды, а толстых ромбов в пределе ровно в φ ≈ 1,618 раза больше, чем тонких. Такой порядок без периода называют квазипериодическим — и, как выяснилось, в нём умеют застывать атомы некоторых сплавов.
Как это устроено
Первый способ — мультисетка де Брёйна: n семейств параллельных прямых, повёрнутых друг относительно друга на 360°/n и чуть сдвинутых. Каждое пересечение двух прямых становится ромбом со сторонами, перпендикулярными этим прямым, а вершина плитки для любой точки плоскости — это просто подсчёт, сколько прямых каждого семейства осталось позади. При n = 5 и целой сумме сдвигов выходит в точности мозаика Пенроуза из толстых (72°) и тонких (36°) ромбов, при 8 — мозаика Аммана — Бенкера из квадратов и ромбов. Заодно видно, что мозаика Пенроуза — это «тень» пятимерной кубической решётки на плоскости.
Второй способ — дефляция. Ромбы, как и «воздушный змей» с «дротиком», делятся на треугольники Робинсона с углами 36–72–72 и 36–36–108, а каждый треугольник — на такие же, в φ раз мельче. Генератор начинает с пятилучевого «солнца». На змеях и дротиках дуги делят рёбра в золотом отношении — это классическое правило подбора: если дуги соседей обязаны продолжать друг друга, периодическую мозаику не сложить. На ромбах дуги ставятся по двухцветной раскраске вершин и тоже смыкаются в непрерывные кривые.
Немного истории
Кеплер в 1619 году в «Гармонии мира» складывал пятиугольники со звёздами и подозревал, что узор не повторяется. Роджер Пенроуз построил апериодический набор из шести плиток в 1974 году и вскоре сократил его до двух; ромбы независимо нашёл Роберт Амман. Публика узнала о них из колонки Мартина Гарднера в Scientific American в январе 1977 года, а мультисетку Николас де Брёйн придумал в 1981-м. В 1982 году Дан Шехтман получил от быстро охлаждённого сплава алюминия с марганцем дифракционную картину с запрещённой для кристаллов симметрией пятого порядка. Ему долго не верили, но в 2011 году за квазикристаллы он получил Нобелевскую премию по химии.
Что покрутить
- «Симметрия» 7, 9 или 11: у нечётных порядков больше разных ромбов; при 12 квадраты соседствуют с ромбами в 30° и 60°.
- Медленно двигайте «Сдвиг» при мультисетке: ромбы по три перещёлкиваются внутри шестиугольников, а общий узор стоит на месте. Физики называют такие перескоки фазонами.
- «Построение» «змеи и дротики (P2)», «Дуги» «золотые», «Раскраска» «один цвет» — и дуги сомкнутся в длинные кривые. Конвей и Пенроуз доказали, что замкнутая кривая всегда охватывает область с пятиугольной симметрией.
- Добавьте сверху эффект «Рельеф» в режиме «тиснение» — мозаика станет похожа на прессованную плитку.
Архимедовы замощения
Исламские звёздные узоры
Апериодическая «шляпа»
Плитки Труше
Лабиринт
Вороной и Делоне
Упаковка кругов
Кельтские узлы
Ткацкие переплетения