Симметрия обоев

Обои, паркет, кафель, ткани, кирпичная кладка — всё, что повторяется в двух направлениях, подчиняется одной из ровно семнадцати групп симметрии. Ходов немного: сдвиги, повороты на половину, треть, четверть и шестую долю оборота, зеркальные отражения и скользящие — отражение плюс сдвиг, как цепочка следов на песке. Других способов повторяться на плоскости нет, и это теорема. Эффект берёт картинку, лежащую ниже, как мотив и размножает её по выбранной группе.

Как это устроено

У каждой группы есть решётка — параллелограмм, который повторяется сдвигами, — и фундаментальная область: кусочек, из которого поворотами, отражениями и сдвигами собирается вся плоскость. Эффект идёт в обратную сторону: для каждого пикселя находит его место в решётке, отбрасывает целую часть (это сдвиги) и «складывает» остаток в фундаментальную область — так складывают бумагу, чтобы вырезать снежинку. Цвет берётся из картинки ниже в получившейся точке.

Решётки бывают пяти типов, и каждая группа живёт на своей: косоугольная (p1, p2 — её перекашивает «Скос»), прямоугольная (pm, pg, pmm, pmg, pgg — её вытягивает «Пропорция ячейки»), ромбическая, она же центрированная (cm, cmm), квадратная (p4, p4m, p4g) и гексагональная (p3, p3m1, p31m, p6, p6m). В названиях p — простая ячейка, c — центрированная, m — зеркало, g — скользящее отражение, цифра — наибольший порядок поворота. «Ячеек» задаёт размер решётки, «Поворот» её наклоняет, а «Мотив по X», «Мотив по Y» и «Масштаб мотива» выбирают, какой кусок нижней картинки станет плиткой. В режиме тайла число ячеек округляется до целого, и орнамент стыкуется без шва.

Немного истории

Мастера Альгамбры в Гранаде в XIII–XIV веках выложили столько разных орнаментов, что спор о том, найдутся ли там все семнадцать групп или только почти все, не утих до сих пор. Что групп ровно семнадцать, доказал в 1891 году кристаллограф Евграф Фёдоров — в том же году, когда он и Артур Шёнфлис независимо перечислили 230 пространственных групп кристаллов. В 1924 году Дьёрдь Пойа независимо вывел семнадцать групп заново и снабдил статью таблицей узоров. Эту таблицу изучал Мауриц Эшер, который в 1922 и 1936 годах ездил в Альгамбру зарисовывать мавританские орнаменты, — его знаменитые мозаики из птиц, рыб и ящериц построены по тем же кристаллографическим группам.

Что покрутить

• Положите эффект над «Фрактальным шумом» с «Искажением» и выберите p6m — из бесформенных разводов вырастут снежинки и витражи (стопка «Калейдоскоп шума»).
• Над «Плитками Труше» попробуйте p4m и p4g: случайный лабиринт станет строгим изразцовым орнаментом (стопка «Орнамент из Труше»).
• Переберите группы на одном мотиве: p1 просто повторяет его, pg и pgg дают «шагающие» ряды, cmm — симметрия обычной кирпичной кладки, p4g складывается в вертушки.
• Водите «Мотив по X» и «Мотив по Y»: орнамент перестраивается целиком, хотя группа та же.
• Оживите нижний слой анимацией — орнамент задышит; «Вращение» поворачивает саму решётку.