This chapter hasn’t been translated into English yet, so here is the Russian original. Your browser can translate the page; the formulas and widgets work the same. Back to the English contents →

Решатель

Решение тригонометрических уравнений онлайн с отбором корней

Введите уравнение — решатель найдёт все серии корней, покажет их на единичной окружности и при желании отберёт корни на отрезке, как во второй части ЕГЭ.

Примеры: sin x = 1/2 2sin^2 x - sin x - 1 = 0 на отрезке [0; 2pi] cos(3x - pi/4) = 0 sin x + cos x = 1 tg 3x = tg x sin x = 0.3 cos 2x = 1 - cos(pi/2 - x); [-5pi/2; -pi]

Загружаем решатель…

Что можно ввести

Функции пишутся как в учебнике: sin, cos, tg (или tan), ctg (или cot); число $\pi$ — pi или π; квадрат синуса — sin^2 x. Аргумент без скобок читается до ближайшего знака: sin 2x — это $\sin 2x$, а sin x/2 — это $\frac{\sin x}{2}$, так что аргумент-дробь берите в скобки: cos(x/2). Углы — в радианах.

Чтобы отобрать корни, допишите промежуток после уравнения: … на отрезке [3pi/2; 3pi], …, x ∈ [0; 2pi] или просто …; [-pi; pi]. Решатель понимает и задание целиком, в том виде, как его печатают в ЕГЭ: «а) Решите уравнение … б) Укажите корни, принадлежащие отрезку …».

Простейшие уравнения

Любое тригонометрическое уравнение в конце концов сводится к одному или нескольким простейшим: $\sin t = a$, $\cos t = a$, $\operatorname{tg} t = a$. Их решения видно на единичной окружности. Синус угла — ордината точки окружности, поэтому корни уравнения $\sin t = a$ — это углы точек, где окружность пересекает горизонтальная прямая $y = a$. Если $|a| > 1$, прямая проходит мимо и корней нет. Если $|a| < 1$, точек две: угол $t_0 = \arcsin a$ и симметричный ему $\pi - t_0$. К каждому можно добавить сколько угодно полных оборотов.

Главное значение: угол из $\left[-\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2}\right]$, синус которого равен $a$. Для табличных $a$ это знакомый угол, для остальных ответ так и записывают — через $\arcsin$.

При чётном $n$ множитель равен $1$, при нечётном $-1$. Чётные $n$ дают серию $t_0 + 2\pi k$, нечётные — серию $\pi - t_0 + 2\pi k$: формула склеивает две серии в одну строку.

Шаг по окружности. Вместе со сменой знака он переводит одну точку в другую.

Пример: $\sin t = \frac{1}{2}$. Здесь $\arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$, и формула даёт $t = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ (чётные $n$) и $t = -\frac{\pi}{6} + \pi(2k + 1) = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$ (нечётные). Проверка: $\sin \frac{5\pi}{6} = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$.

Для косинуса всё то же, но прямая вертикальная, $x = a$, и точки симметричны относительно оси абсцисс: $t = \pm\arccos a + 2\pi n$. Тангенс повторяется через $\pi$, поэтому у уравнения $\operatorname{tg} t = a$ одна серия: $t = \operatorname{arctg} a + \pi n$, причём при любом $a$. Частные случаи запоминают отдельно, по картинке: $\sin t = 0$ при $t = \pi n$, $\cos t = 0$ при $t = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $\sin t = 1$ только в верхней точке, $t = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$.

Если под функцией стоит не $x$, а выражение, например $\cos\left(3x - \frac{\pi}{4}\right) = 0$, сначала решаем уравнение для всего аргумента: $3x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi n$. Потом выражаем $x$ и не забываем разделить период: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{3}$.

Как свести уравнение к простейшему

Замена. Если уравнение — многочлен от одной функции, $2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$, обозначаем $t = \sin x$, решаем квадратное уравнение и отбрасываем значения $|t| > 1$. Когда вперемешку $\sin^2 x$ и $\cos x$, сначала заменяем $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$.
Разложение на множители. Произведение равно нулю, когда нулю равен хотя бы один множитель: $\sin x(2\sin x - 1) = 0$ распадается на $\sin x = 0$ и $\sin x = \frac{1}{2}$.
Однородные уравнения. $\sin^2 x - 3\sin x\cos x + 2\cos^2 x = 0$ делим на $\cos^2 x$ и получаем квадратное уравнение относительно $\operatorname{tg} x$. Корни при этом не теряются: если $\cos x = 0$, то уравнение требует и $\sin x = 0$, а так не бывает.
Вспомогательный угол. $a\sin x + b\cos x$ записываем как $\sqrt{a^2 + b^2}\,\sin(x + \varphi)$.
Формулы двойного угла и суммы. $\sin 2x = 2\sin x\cos x$, $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$, $\sin a + \sin b = 2\sin\frac{a + b}{2}\cos\frac{a - b}{2}$ приводят аргументы к одному.
Одинаковые функции разных аргументов. $\sin A = \sin B$ равносильно $A = B + 2\pi n$ или $A = \pi - B + 2\pi n$; $\cos A = \cos B$ — $A = \pm B + 2\pi n$; косинус переписывается через синус по формуле $\cos\beta = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \beta\right)$.

Если в уравнении есть тангенс, котангенс или дробь, выписываем ОДЗ: знаменатель не равен нулю. Точки, где он обращается в ноль, из серий выбрасываются, и иногда серию приходится разбить на части.

Отбор корней на отрезке

Во второй части ЕГЭ после общего решения просят указать корни на отрезке. Способов два, и решатель показывает оба. Первый — окружность: отмечаем дугу, соответствующую отрезку, и идём по ней от начала к концу, собирая точки серий и подписывая их настоящие значения с учётом оборотов. Второй — двойное неравенство: для серии $x = x_0 + Tn$ решаем $a \le x_0 + Tn \le b$ относительно целого $n$. Если отрезок длиннее $2\pi$, окружность проходится больше одного раза, и тогда надёжнее неравенство или числовая прямая.

Разобранные примеры

Пример 1. Замена и отбор: $2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$ на $[0;\ 2\pi]$

Пусть $t = \sin x$: $2t^2 - t - 1 = 0$, $D = 1 + 8 = 9$, $t = \frac{1 \pm 3}{4}$, то есть $t = 1$ или $t = -\frac{1}{2}$. Оба по модулю не больше единицы.

$\sin x = 1$ даёт $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$; $\sin x = -\frac{1}{2}$ даёт $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$ и $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$. На отрезке $[0;\ 2\pi]$ лежат $\frac{\pi}{2}$, $\frac{7\pi}{6}$ и $-\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6}$.

Пример 2. Задание в духе ЕГЭ: $\cos 2x = 1 - \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$, корни на $\left[-\frac{5\pi}{2};\ -\pi\right]$

По формулам приведения $\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x$, а $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$. Получаем $1 - 2\sin^2 x = 1 - \sin x$, то есть $\sin x\,(2\sin x - 1) = 0$. Отсюда $x = \pi n$ или $\sin x = \frac{1}{2}$: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$.

Отбор: из серии $\pi n$ подходят $-2\pi$ и $-\pi$; из $\frac{\pi}{6} + 2\pi n$ — $\frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{11\pi}{6}$; из $\frac{5\pi}{6} + 2\pi n$ — $\frac{5\pi}{6} - 2\pi = -\frac{7\pi}{6}$. Ответ пункта «б»: $-2\pi;\ -\frac{11\pi}{6};\ -\frac{7\pi}{6};\ -\pi$.

Пример 3. Вспомогательный угол: $\sin x + \cos x = 1$

$\sin x + \cos x = \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x + \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x\right) = \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$. Уравнение становится простейшим: $\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Значит, $x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$ или $x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, и $x = 2\pi n$ или $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$. Проверка: $\sin 0 + \cos 0 = 1$, $\sin\frac{\pi}{2} + \cos\frac{\pi}{2} = 1$.

Пример 4. Где ОДЗ меняет ответ: $\operatorname{tg} 3x = \operatorname{tg} x$

Тангенсы равны, когда аргументы отличаются на $\pi n$: $3x = x + \pi n$, $x = \frac{\pi n}{2}$. Но тангенс существует не везде: нужно $\cos x \ne 0$ и $\cos 3x \ne 0$. При нечётных $n$ получаются точки $\frac{\pi}{2} + \pi k$, где $\operatorname{tg} x$ не определён, — их выбрасываем. Остаются чётные $n$: $x = \pi k$. Проверка: $\operatorname{tg} 3\pi = 0 = \operatorname{tg}\pi$.

Пример 5. Однородное уравнение: $\sin^2 x - 3\sin x\cos x + 2\cos^2 x = 0$

Все слагаемые второй степени по синусу и косинусу. Проверим, может ли $\cos x$ равняться нулю: тогда уравнение требует $\sin^2 x = 0$, но синус и косинус одновременно в ноль не обращаются. Значит, делить на $\cos^2 x$ можно, корни не потеряются: $\operatorname{tg}^2 x - 3\operatorname{tg} x + 2 = 0$.

Это квадратное уравнение относительно $\operatorname{tg} x$: корни $1$ и $2$. Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, $x = \operatorname{arctg} 2 + \pi n$. Вторую серию оставляют через арктангенс — $\operatorname{arctg} 2 \approx 1{,}1071$ не табличный угол, но это точный ответ.

Как проверить ответ

Серия корней — бесконечное множество, всё не подставишь. Но достаточно проверить два-три значения $n$ в каждой серии: если формула серии выведена верно, остальные подойдут автоматически, потому что функции периодичны. Второй способ — график: нарисуйте левую и правую части уравнения и посмотрите, сколько точек пересечения приходится на один период. В первом примере на отрезке длиной $2\pi$ их три, и в ответе тоже три значения. Решатель делает обе проверки: подставляет значения из серий точно, без округлений, и показывает графики на вкладке «График».

Типичные ошибки

Забывают период. Ответ $x = \frac{\pi}{6}$ — это один корень из бесконечного множества; нужно $+2\pi n$ или $+\pi n$ и слова «$n \in \mathbb{Z}$».
Теряют вторую серию синуса. У $\sin x = \frac{1}{2}$ две точки на окружности, $\frac{\pi}{6}$ и $\frac{5\pi}{6}$, а не одна.
Путают знаки у арк-функций. $\arcsin(-a) = -\arcsin a$, а вот $\arccos(-a) = \pi - \arccos a$: $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}$, а не $-\frac{\pi}{3}$.
Делят на функцию, которая может быть нулём. Из $\sin x \cos x = \sin x$ нельзя «сократить» $\sin x$ — пропадёт серия $x = \pi n$. Переносите всё в одну сторону и раскладывайте на множители.
Не делят период. У $\sin 2x = 1$ ответ $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, а не $+2\pi n$: делится вся правая часть, включая $2\pi n$.
Не проверяют ОДЗ в уравнениях с тангенсом, котангенсом и дробями, как в четвёртом примере.
Путают градусы и радианы. $\sin 30 \ne \frac{1}{2}$: без значка градуса $30$ — это радианы.

Что ещё посмотреть

Откуда берутся синус и косинус, как единичная окружность «разматывается» в синусоиду и почему $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ — это теорема Пифагора, — в главе о тригонометрии. Стороны и углы треугольника по теоремам синусов и косинусов находит решатель треугольников. Если после замены получилось квадратное уравнение, его подробно разберёт решатель квадратных уравнений, а уравнения со степенями и логарифмами — решатель показательных и логарифмических уравнений.