Решение задач по теории вероятностей онлайн: кости, урны, формула Байеса, схема Бернулли

Классическая вероятность с подсчётом исходов, выборка из урны, полная вероятность и формула Байеса с деревом и «натуральными частотами», схема Бернулли с точным ответом и приближением Муавра — Лапласа, матожидание и дисперсия по таблице.

Примеры: две кости, сумма больше 8 в урне 7 белых и 3 чёрных, вынимают 4, ровно 1 чёрный болеют 1%, чувствительность 99%, ложноположительных 5% P(H) = 0,5; 0,3; 0,2, P(A|H) = 0,01; 0,02; 0,03 n = 10, p = 0,3, k = 3 n = 100, p = 0,8, от 75 до 90 3 монеты, хотя бы один орёл x: 0; 1; 2, p: 0,2; 0,5; 0,3

Загружаем решатель…

Какие задачи решает

Школьные и первокурсные задачи на вероятность почти всегда принадлежат одному из нескольких типов, и у каждого своя схема решения. Выберите тип над полем ввода или напишите условие коротко, как в примерах. Решатель ответит точной дробью, десятичной дробью и в процентах, объяснит каждый шаг и проверит ответ другим способом: перебором, пересчётом на «натуральные частоты» или суммой всех вероятностей.

Классическая вероятность: считаем исходы

Если опыт может закончиться $n$ равновозможными способами и событию благоприятствуют $m$ из них, его вероятность — просто доля: $P = \frac{m}{n}$. Вся трудность в том, чтобы правильно сосчитать исходы, и главная ловушка — считать их так, что они перестают быть равновозможными. У двух кубиков 36 исходов, а не 11 возможных сумм: сумма 7 получается шестью способами (1 + 6, 2 + 5, …, 6 + 1), а сумма 12 — только одним. Кубики надо мысленно покрасить в разные цвета: тогда 1 + 6 и 6 + 1 — разные исходы.

Для выборки из урны исходы — наборы вынутых шаров, и их число считает комбинаторика. Если в урне $N$ шаров, из них $K$ чёрных, и мы наугад вынимаем $n$, то

Сколько чёрных должно оказаться среди вынутых.

Сколько чёрных в урне: выбираем из них $k$.

Сколько вынимаем. Остальные $n - k$ берём из $N - K$ белых; способы перемножаются по правилу произведения, а знаменатель — число всех наборов.

Пример: 7 белых и 3 чёрных, вынимают 4, ровно 1 чёрный: $\frac{C_3^1 \cdot C_7^3}{C_{10}^4} = \frac{3 \cdot 35}{210} = \frac12$.

Если спрашивают «хотя бы один», почти всегда проще посчитать противоположное событие «ни одного» и вычесть его из единицы. Так решатель и делает, когда противоположное событие короче.

Полная вероятность и формула Байеса

Эти задачи устроены в два этапа: сначала случается одна из гипотез (деталь сделана первым, вторым или третьим заводом; человек болен или здоров), потом — событие, вероятность которого зависит от гипотезы. Нарисуйте дерево: от корня — ветки гипотез, от каждой — ветка события. Вероятность пути равна произведению чисел на его ветках, а вероятность события — сумме путей, которые к нему ведут. Это формула полной вероятности: $P(A) = \sum P(H_i)\,P(A \mid H_i)$.

Формула Байеса отвечает на обратный вопрос: событие уже произошло — какова теперь вероятность гипотезы? Ответ — доля её пути среди всех путей, ведущих к событию.

Гипотеза, вероятность которой пересчитываем.

Событие, которое произошло, и его полная вероятность — сумма всех путей к нему.

Вероятность пути «сначала $H$, потом $A$».

Пример: болеют 1 %, тест находит 99 % больных и ошибочно срабатывает у 5 % здоровых. $P(+) = 0{,}01 \cdot 0{,}99 + 0{,}99 \cdot 0{,}05 = 0{,}0594$, и $P(\text{болен} \mid +) = \frac{0{,}0099}{0{,}0594} = \frac16$.

Результат удивляет почти всех: тест точный, а при положительном ответе человек болен лишь с вероятностью около 17 %. Проще всего это увидеть в «натуральных частотах». Из 10 000 человек больны 100, и тест найдёт 99 из них. Здоровых 9900, и у 495 тест ошибётся. Положительных результатов 594, а больных среди них 99 — ровно шестая часть. Решатель показывает эти числа на дереве и на квадрате площадей; подробнее о медицинских тестах — в главе о вероятности.

Схема Бернулли

Опыт повторяют $n$ раз независимо, и в каждом «успех» случается с одной и той же вероятностью $p$: выстрелы, броски монеты, всхожесть семян. Число успехов $X$ может быть от 0 до $n$.

Сколько успехов нужно.

Сколько испытаний.

Вероятность успеха в одном испытании. Одна конкретная последовательность из $k$ успехов и $n - k$ неудач имеет вероятность $p^k(1-p)^{n-k}$, а таких последовательностей $C_n^k$ — столько способов выбрать места успехов.

Пример: $n = 10$, $p = 0{,}3$, $k = 3$: $120 \cdot 0{,}027 \cdot 0{,}7^7 \approx 0{,}2668$.

Для вопросов «хотя бы», «не более», «от … до» вероятности нужных $k$ складывают: события «ровно 3 успеха» и «ровно 4» несовместны. При больших $n$ слагаемых много, и вручную их заменяют приближением Муавра — Лапласа: $X$ ведёт себя почти как нормальная величина со средним $np$ и разбросом $\sqrt{npq}$. Решатель считает и точно, и приближённо и честно пишет, насколько приближение ошиблось. Если $npq$ меньше 9, ошибка бывает заметной. При малом $p$ и большом $n$ точнее приближение Пуассона.

Матожидание и дисперсия по таблице

Если случайная величина задана таблицей значений $x_i$ и вероятностей $p_i$, её матожидание — среднее с весами, $\mathbb{E}X = \sum x_i p_i$, а дисперсия — средний квадрат отклонения от него. Считать удобнее так: $\mathbb{D}X = \mathbb{E}X^2 - (\mathbb{E}X)^2$. Среднее квадратическое отклонение $\sigma = \sqrt{\mathbb{D}X}$ измеряет разброс в тех же единицах, что и сама величина. Первым делом решатель проверяет, что вероятности в таблице дают в сумме 1, а если одна неизвестна (вместо неё можно поставить «?»), находит её из этого условия.

Разобранные примеры

Пример 1. Две кости, сумма больше 8

Исходов $6 \cdot 6 = 36$, все равновозможны. Сумма 9 выпадает 4 способами (3 + 6, 4 + 5, 5 + 4, 6 + 3), 10 — тремя, 11 — двумя, 12 — одним. Благоприятных $4 + 3 + 2 + 1 = 10$, и $P = \frac{10}{36} = \frac{5}{18} \approx 0{,}278$.

Пример 2. Бракованная деталь

Три завода делают 50 %, 30 % и 20 % деталей, брак у них 1 %, 2 % и 3 %. Вероятность брака: $0{,}5 \cdot 0{,}01 + 0{,}3 \cdot 0{,}02 + 0{,}2 \cdot 0{,}03 = 0{,}005 + 0{,}006 + 0{,}006 = 0{,}017$. Попалась бракованная деталь — с какой вероятностью она с первого завода? $\frac{0{,}005}{0{,}017} = \frac{5}{17} \approx 0{,}29$. Первый завод делает половину деталей, но бракованных у него меньше трети: он самый аккуратный.

Пример 3. Пять выстрелов

Стрелок попадает с вероятностью 0,8. Какова вероятность хотя бы 4 попаданий из 5? $P(X = 4) = C_5^4 \cdot 0{,}8^4 \cdot 0{,}2 = 5 \cdot 0{,}4096 \cdot 0{,}2 = 0{,}4096$, $P(X = 5) = 0{,}8^5 = 0{,}32768$. Складываем: $0{,}73728$. Здесь $npq = 0{,}8$, и приближение Муавра — Лапласа по интегральной формуле даёт около 0,37 — вдвое меньше точного ответа. Для пяти испытаний им пользоваться нельзя.

Пример 4. Таблица распределения

$X$ принимает значения 0, 1, 2 с вероятностями 0,2; 0,5; 0,3. Сумма вероятностей равна 1 — таблица правильная. $\mathbb{E}X = 0 \cdot 0{,}2 + 1 \cdot 0{,}5 + 2 \cdot 0{,}3 = 1{,}1$, $\mathbb{E}X^2 = 0{,}5 + 4 \cdot 0{,}3 = 1{,}7$, $\mathbb{D}X = 1{,}7 - 1{,}1^2 = 0{,}49$, $\sigma = 0{,}7$.

Типичные ошибки

Неравновозможные исходы. Суммы двух кубиков или «два орла / орёл и решка / две решки» — не равновозможны. Считать надо упорядоченные исходы.
Путают $P(A \mid B)$ и $P(B \mid A)$. «Тест находит 99 % больных» — это $P(+ \mid \text{болен})$, а спрашивают обычно $P(\text{болен} \mid +)$. Это разные числа, и связывает их формула Байеса.
Складывают вероятности совместных событий. $P(A \text{ или } B) = P(A) + P(B)$ только если $A$ и $B$ не могут случиться вместе. Иначе нужно вычесть $P(A \text{ и } B)$.
Забывают про противоположное событие. «Хотя бы один раз из десяти» — это $1 - q^{10}$, а не $10p$: при $p = 0{,}2$ второе даёт невозможную вероятность 2.
Умножают вероятности зависимых событий. Вынули белый шар и не вернули — состав урны изменился, и вероятность второго белого уже другая.
Сумма вероятностей гипотез не равна 1. Если гипотезы пересекаются или какая-то пропущена, формула полной вероятности даёт ерунду.

Что ещё посмотреть

Как вероятность обманывает интуицию — дверь Монти Холла, общий день рождения, ошибка игрока и ошибка прокурора, — рассказано в главе «Вероятность»: разбор медицинского теста — в разделе «Положительный анализ», дни рождения — в «Общий день рождения». Случайные величины, биномиальный и нормальный законы будут в главе о случайных величинах. Число исходов для сложных выборок поможет посчитать решатель по комбинаторике, а откуда берутся сочетания в формуле Бернулли — в главе о комбинаторике.