Решение линейных уравнений онлайн по шагам

Введите уравнение со скобками, дробями или десятичными — решатель избавится от знаменателей, раскроет скобки, перенесёт слагаемые и объяснит каждое действие, а в конце проверит корень подстановкой.

Примеры: 3(x - 2) = 2x + 5 (x + 1)/3 - (2x - 1)/5 = 1 0,5x + 1,2 = 0,3x - 0,4 5 - 2(x - 1) = 3x (x + 2)^2 = x^2 + 8 2(x + 1) = 2x + 2 x + 1 = x + 2

Загружаем решатель…

Что можно ввести

Любое уравнение с одним неизвестным, которое после упрощения становится линейным, то есть сводится к виду $ax = b$. Скобки: 3(x - 2) = 2x + 5. Дроби — через косую черту: (x + 1)/3 - (2x - 1)/5 = 1. Десятичные — через запятую: 0,5x + 1,2 = 0,3x - 0,4. Неизвестное может стоять в обеих частях и даже в квадрате, если квадраты потом сократятся: (x + 2)^2 = x^2 + 8 — тоже линейное уравнение, просто в маскировке.

Если после раскрытия скобок остаётся $x^2$, решатель честно скажет, что уравнение квадратное, и даст ссылку на нужный решатель. Если неизвестное стоит в знаменателе, как в $\frac{1}{x} = 2$, это уже дробно-рациональное уравнение, и его здесь не решают.

Как решать: пять действий по порядку

Избавиться от дробей. Находим наименьшее общее кратное всех знаменателей и умножаем на него каждое слагаемое обеих частей. Для десятичных дробей удобно умножать на $10$, $100$ и так далее.
Раскрыть скобки. Множитель перед скобкой умножаем на каждое слагаемое внутри. Минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых в ней.
Перенести. Слагаемые с неизвестным собираем в левой части, числа — в правой. Слагаемое, которое переходит через знак равенства, меняет знак.
Привести подобные. Складываем коэффициенты при $x$ и складываем числа. Получается уравнение вида $ax = b$.
Разделить на коэффициент при $x$. Если $a \ne 0$, корень один: $x = \frac{b}{a}$. Если $a = 0$ — особый случай, о нём ниже.

Последнее действие, которое часто пропускают, — проверка: подставить найденное число в исходное уравнение, до всех преобразований. Если левая и правая части совпали, корень найден верно. Решатель делает это сам, считая обе части точно, без округлений.

Почему так можно

Уравнение похоже на весы в равновесии. Если к обеим чашам добавить одинаковый груз или с обеих снять одинаковый, равновесие не нарушится. Если все грузы на обеих чашах удвоить — тоже. На языке алгебры это два правила: к обеим частям уравнения можно прибавить одно и то же число (или выражение), и обе части можно умножить на одно и то же число, не равное нулю. От таких преобразований корни не меняются: уравнение до и после имеет в точности те же решения.

«Перенос с противоположным знаком» — не отдельное правило, а сокращённая запись первого. В $3x - 6 = 2x + 5$ прибавим к обеим частям $6$ и вычтем $2x$: получится $3x - 2x = 5 + 6$. Кажется, что $-6$ и $2x$ «перепрыгнули» через знак равенства и сменили знак, но на деле мы просто прибавили одинаковое к обеим чашам. Около 820 года ал-Хорезми назвал это действие «ал-джабр», восполнение; от этого слова и пошло название «алгебра».

Умножать на ноль нельзя по понятной причине: из любого уравнения получится верное $0 = 0$, и корни потеряются. Поэтому в последнем действии нужна оговорка $a \ne 0$.

Коэффициент при неизвестном — то, что получилось после приведения подобных. Делим на него обе части; это то же самое, что умножить на $\frac{1}{a}$, а умножать на ненулевое число можно.

Всё, что собралось в правой части, — одно число.

Пример: из $4x - 3 = 2x + 7$ получаем $2x = 10$ и $x = \frac{10}{2} = 5$. Проверка: $4 \cdot 5 - 3 = 17$ и $2 \cdot 5 + 7 = 17$.

Если же после приведения подобных $a = 0$, уравнение превращается в $0 \cdot x = b$, и делить не на что. Тут два исхода. При $b \ne 0$ равенство неверно при любом $x$ — корней нет. При $b = 0$ равенство верно при любом $x$ — подходит любое число. На графике это видно сразу: левая и правая части — две прямые. Обычно они пересекаются в одной точке, и её абсцисса — корень. Параллельные прямые не пересекаются (корней нет), а совпадающие пересекаются везде (корнем годится любое число).

Разобранные примеры

Пример 1. Дроби: $\frac{x + 1}{3} - \frac{2x - 1}{5} = 1$

Общий знаменатель $3$ и $5$ — число $15$. Умножаем на него каждое слагаемое, в том числе единицу справа: $5(x + 1) - 3(2x - 1) = 15$. Раскрываем скобки, не забывая про минус перед второй: $5x + 5 - 6x + 3 = 15$. Переносим: $5x - 6x = 15 - 5 - 3$, то есть $-x = 7$, и $x = -7$.

Проверка в исходном уравнении: $\frac{-7 + 1}{3} - \frac{2 \cdot (-7) - 1}{5} = -2 - (-3) = 1$. Верно.

Пример 2. Десятичные: $0{,}5x + 1{,}2 = 0{,}3x - 0{,}4$

У всех чисел по одному знаку после запятой — умножаем обе части на $10$: $5x + 12 = 3x - 4$. Дальше как обычно: $5x - 3x = -4 - 12$, $2x = -16$, $x = -8$. Проверка: $0{,}5 \cdot (-8) + 1{,}2 = -2{,}8$ и $0{,}3 \cdot (-8) - 0{,}4 = -2{,}8$.

Пример 3. Минус перед скобкой: $5 - 2(x - 1) = 3x$

$-2(x - 1) = -2x + 2$: минус перед скобкой меняет знак у обоих слагаемых. Получаем $5 - 2x + 2 = 3x$, переносим: $-2x - 3x = -5 - 2$, то есть $-5x = -7$ и $x = \frac{7}{5} = 1{,}4$. Проверка: $5 - 2 \cdot 0{,}4 = 4{,}2$ и $3 \cdot 1{,}4 = 4{,}2$.

Пример 4. Когда корней нет и когда их бесконечно много

$x + 1 = x + 2$: переносим, $x - x = 2 - 1$, то есть $0 \cdot x = 1$. Ни при каком $x$ ноль не равен единице — корней нет. Прямые $y = x + 1$ и $y = x + 2$ параллельны.

$2(x + 1) = 2x + 2$: после раскрытия скобок обе части одинаковы, и получается $0 \cdot x = 0$. Это верно при любом $x$ — подходит любое число. Такое равенство называют тождеством.

Пример 5. Задача, которую называют эпитафией Диофанта

В «Греческой антологии» есть стихотворная задача о жизни Диофанта: детство заняло шестую часть жизни, ещё двенадцатая часть прошла до того, как появилась борода, седьмая — до женитьбы, через пять лет родился сын, который прожил вдвое меньше отца, а отец умер через четыре года после сына. Если вся жизнь — $x$ лет, то

$$\frac{x}{6} + \frac{x}{12} + \frac{x}{7} + 5 + \frac{x}{2} + 4 = x.$$

Общий знаменатель — $84$: $14x + 7x + 12x + 420 + 42x + 336 = 84x$, то есть $75x + 756 = 84x$, откуда $9x = 756$ и $x = 84$. Правдива ли история — неизвестно, но уравнение решается честно. Введите его в решатель как x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4 = x.

Типичные ошибки

Умножают на общий знаменатель не все слагаемые. В примере 1 единицу справа тоже нужно умножить на $15$. Если забыть, получится $5(x + 1) - 3(2x - 1) = 1$ и неверный ответ $x = 7$.
Теряют скобки у числителя. $15 \cdot \frac{2x - 1}{5} = 3(2x - 1) = 6x - 3$, а не $6x - 1$: на три умножается весь числитель.
Минус перед скобкой меняет знак только первого слагаемого. $-(2x - 1) = -2x + 1$, а не $-2x - 1$. Это самая частая ошибка во всей школьной алгебре.
При переносе забывают сменить знак. Из $3x - 6 = 2x + 5$ получается $3x - 2x = 5 + 6$, а не $5 - 6$.
Делят не на тот коэффициент или теряют его знак. Из $-5x = -7$ следует $x = \frac{7}{5}$, а не $-\frac{7}{5}$ и не $-\frac{5}{7}$.
Из $0 \cdot x = 0$ делают вывод «$x = 0$». Ноль — лишь один из бесконечного множества ответов. А из $0 \cdot x = 5$ не следует «$x = 5$»: корней нет.
Делят обе части на выражение с неизвестным. Например, «сокращают» $x$ в $x^2 = x$ и получают только $x = 1$, теряя корень $x = 0$. Делить можно только на то, что заведомо не ноль.

Что ещё посмотреть

Весы, ал-Хорезми, ловушки при делении и текстовые задачи — в главе «Уравнения: искусство равновесия», там же тренажёр. Если в уравнении остался $x^2$ — вам к решателю квадратных уравнений; если знак не «=», а «<» или «>», — к решателю неравенств: там почти те же действия, но при делении на отрицательное число знак неравенства переворачивается. Уравнения высших степеней разбирает решатель уравнений высокой степени.