Калькулятор матриц онлайн с решением: определитель, обратная матрица, ранг, собственные числа

Введите матрицу в таблицу — решатель посчитает определитель тремя способами, найдёт обратную методом Гаусса или через союзную матрицу, ранг, степень, произведение и собственные векторы, объясняя каждый шаг.

Примеры: определитель [2 1 3; 0 -1 4; 1 2 0] обратная [2 1; 5 3] ранг [1 2 3; 2 4 6; 1 0 1] собственные числа [2 1; 1 2] [1 1; 1 0]^10 [1 2; 3 4] * [0 1; 1 0] определитель [1 2 0 3; 0 1 4 0; 2 0 1 1; 1 1 0 2] разложением

Загружаем решатель…

Что можно ввести

Выберите операцию — определитель, обратная матрица, ранг, собственные числа, степень, произведение или транспонирование — и заполните таблицу. Размер меняется кнопками «−» и «+» (до 6 × 6, для ранга и произведения — до 8 × 8), пустая клетка считается нулём, стрелки и Enter перемещают по клеткам. Числа бывают целыми, дробными (1/2) и десятичными (0.5). Блок ячеек из Excel или Google Таблиц, строки текста или запись вида [[1, 2], [3, 4]] можно вставить в любую клетку — таблица сама подстроит размер.

То же можно написать строкой: матрица в квадратных скобках, строки через точку с запятой, числа через пробел — «определитель [2 1 3; 0 −1 4; 1 2 0]», «обратная [2 1; 5 3]», «[1 1; 1 0]^10», «[1 2; 3 4] * [5; 6]». Для определителя можно выбрать способ: разложение по строке, метод Гаусса или правило треугольников (Саррюса); для обратной — метод Гаусса — Жордана или союзную матрицу. Все вычисления точные, в обыкновенных дробях.

Определитель: во сколько раз меняется площадь

Матрица $2 \times 2$ описывает преобразование плоскости: её столбцы — это то, куда переходят единичные векторы $\mathbf e_1$ и $\mathbf e_2$. Единичный квадрат при этом превращается в параллелограмм на этих двух столбцах, и его площадь — модуль определителя. Знак говорит, перевернулась ли плоскость, как в зеркале. Для матрицы $3 \times 3$ то же самое с объёмом: единичный куб переходит в параллелепипед на трёх столбцах. Определитель, равный нулю, значит, что преобразование сплющивает пространство — площадь или объём исчезают. Такую матрицу называют вырожденной: у неё нет обратной, а её строки линейно зависимы.

Элементы выбранной строки $i$ (можно взять и столбец). Выгоднее та строка, где больше нулей: нулевые слагаемые не пишем.

Знак: шахматный порядок, начиная с плюса в левом верхнем углу.

Минор — определитель матрицы, которая остаётся после вычёркивания строки $i$ и столбца $j$. Он на единицу меньше, и так размер спускается до $2 \times 2$.

Пример для $2 \times 2$: $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$, так что $\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{vmatrix} = 6 - 5 = 1$.

Для $3 \times 3$ разложение по первой строке раскрывается в шесть произведений по три числа — три со знаком плюс и три с минусом. Их удобно запоминать «правилом треугольников»: плюс — главная диагональ и два треугольника с основанием, параллельным ей; минус — то же для побочной диагонали. Француз Пьер Саррюс предложил приписать справа первые два столбца, и тогда все шесть произведений читаются по диагоналям. Решатель рисует эту схему.

Для больших матриц разложение безнадёжно: при $n = 10$ в нём больше трёх с половиной миллионов слагаемых. Метод Гаусса гораздо быстрее. Прибавление к строке другой строки, умноженной на число, определитель не меняет; перестановка двух строк меняет его знак. Этими действиями матрицу приводят к треугольному виду, а определитель треугольной матрицы — произведение чисел на диагонали. Для $10 \times 10$ это порядка нескольких сотен действий.

Обратная матрица

Обратная матрица $A^{-1}$ отменяет преобразование: $A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = E$, где $E$ — единичная матрица. Она существует ровно тогда, когда $\det A \ne 0$: сплющенное пространство обратно не расправить.

Метод Гаусса — Жордана. Пишем рядом $A$ и $E$ — получается матрица $(A \mid E)$ — и элементарными преобразованиями строк превращаем левую половину в единичную. Каждое такое преобразование — это умножение слева на некоторую простую матрицу; все вместе они дают матрицу, которая переводит $A$ в $E$, то есть $A^{-1}$. Правая половина испытывает те же умножения и из $E$ становится $A^{-1}$. Если в каком-то столбце ведущего элемента не нашлось, матрица вырожденная.

Определитель. На него делят — поэтому он не должен быть нулём.

Союзная (присоединённая) матрица: для каждого элемента считаем алгебраическое дополнение $A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ и ставим его на место $(j, i)$ — матрицу дополнений транспонируют.

Пример: для $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}$ определитель равен $1$, дополнения $A_{11} = 3$, $A_{12} = -5$, $A_{21} = -1$, $A_{22} = 2$, и $A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}$. Проверка: $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Почему формула работает: в произведении $A \cdot \operatorname{adj} A$ на диагонали стоит разложение определителя по строке, то есть $\det A$, а вне диагонали — разложение определителя матрицы с двумя одинаковыми строками, то есть ноль. Для $2 \times 2$ это знакомое правило: переставить элементы главной диагонали, у побочной сменить знаки и разделить на определитель. Для больших матриц союзная матрица требует много миноров, и метод Гаусса выигрывает.

Ранг

Ранг — наибольшее число линейно независимых строк матрицы; столько же у неё и независимых столбцов. Его находят методом Гаусса: приводим матрицу к ступенчатому виду и считаем ненулевые строки, то есть ведущие элементы. В матрице $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ вторая строка — удвоенная первая, после исключения она обнуляется, и ранг равен 2. Ранг решает судьбу системы уравнений: она совместна, когда ранг матрицы равен рангу расширенной, а решение единственно, когда он к тому же равен числу неизвестных (теорема Кронекера — Капелли).

Собственные числа и векторы

Почти каждый вектор под действием матрицы поворачивается. Собственный вектор — исключение: он остаётся на своей прямой и лишь растягивается в $\lambda$ раз, $A\mathbf v = \lambda\mathbf v$. Число $\lambda$ — собственное значение. Перепишем равенство как $(A - \lambda E)\mathbf v = 0$: ненулевое решение у такой однородной системы есть только при $\det(A - \lambda E) = 0$. Это уравнение называют характеристическим; его корни — собственные значения. Для каждого корня собственные векторы находим, решая систему методом Гаусса.

Для $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ получается $\det(A - \lambda E) = (2 - \lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 3$, корни $\lambda_1 = 1$ и $\lambda_2 = 3$. При $\lambda = 3$ система $(A - 3E)\mathbf v = 0$ даёт $\mathbf v = t\,(1;\ 1)$, при $\lambda = 1$ — $\mathbf v = t\,(1;\ -1)$. Две быстрые проверки: сумма собственных значений равна следу (сумме диагонали, $4$), произведение — определителю ($3$). На картинке решателя единичная окружность превращается в эллипс, а собственные направления — его оси.

Корни характеристического многочлена бывают комплексными — тогда матрица в своей плоскости поворачивает все векторы, как $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ с $\lambda = \pm i$. Бывают кратными — и тогда собственных векторов может не хватить, чтобы составить из них базис.

Произведение и степень

Элемент произведения $AB$ в строке $i$ и столбце $j$ — это $i$-я строка $A$, «умноженная» на $j$-й столбец $B$: перемножаем числа попарно и складываем. Поэтому умножать можно, только если в строке $A$ столько же чисел, сколько в столбце $B$. Произведение — это композиция преобразований: сначала $B$, потом $A$, и порядок важен, обычно $AB \ne BA$. Степень считают быстрым возведением: $A^{10} = A^8 \cdot A^2$, а $A^8$ получается тремя возведениями в квадрат. Так, $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^{10} = \begin{pmatrix} 89 & 55 \\ 55 & 34 \end{pmatrix}$ — в степенях этой матрицы стоят числа Фибоначчи.

Разобранные примеры

Пример 1. Определитель $3 \times 3$ по правилу треугольников

$$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 4 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix} = \bigl(2 \cdot (-1) \cdot 0 + 1 \cdot 4 \cdot 1 + 3 \cdot 0 \cdot 2\bigr) - \bigl(3 \cdot (-1) \cdot 1 + 2 \cdot 4 \cdot 2 + 1 \cdot 0 \cdot 0\bigr) = 4 - 13 = -9.$$

Проверка разложением по первому столбцу, где есть ноль: $2 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 4 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 4 \end{vmatrix} = 2 \cdot (-8) + 1 \cdot 7 = -9$.

Пример 2. Обратная матрица методом Гаусса — Жордана

$$\left(\begin{array}{cc|cc} 2 & 1 & 1 & 0 \\ 5 & 3 & 0 & 1 \end{array}\right) \to \left(\begin{array}{cc|cc} 1 & \frac12 & \frac12 & 0 \\ 0 & \frac12 & -\frac52 & 1 \end{array}\right) \to \left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & 3 & -1 \\ 0 & 1 & -5 & 2 \end{array}\right).$$

Первую строку разделили на 2 и, умножив на 5, вычли из второй; потом вторую строку умножили на 2 и вычли её половину из первой. Слева получилась $E$, справа — $A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}$, тот же ответ, что и через союзную матрицу.

Пример 3. Вырожденная матрица

У $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ определитель $1 \cdot 4 - 2 \cdot 2 = 0$. Вторая строка вдвое больше первой, ранг равен 1, обратной матрицы нет: всю плоскость эта матрица сплющивает на прямую $y = 2x$, и разные точки попадают в одну.

Типичные ошибки

Путают диагонали в $2 \times 2$. $ad - bc$: из произведения главной диагонали вычитают произведение побочной, не наоборот.
Забывают шахматные знаки. В разложении по строке у второго элемента первой строки знак минус: $(-1)^{1+2} = -1$.
Переставили строки в методе Гаусса и не поменяли знак определителя. Каждая перестановка умножает определитель на $-1$.
Умножают строку на число и думают, что определитель не изменился. Он изменился в то же число раз. Не меняет определитель только прибавление к строке другой строки, умноженной на число.
Не транспонируют матрицу дополнений. Дополнение $A_{ij}$ встаёт в союзной матрице на место $(j, i)$. Без транспонирования ответ неверен для любой несимметричной матрицы.
Правило Саррюса для $4 \times 4$. Оно работает только для $3 \times 3$; у определителя $4 \times 4$ 24 слагаемых, а диагоналей всего восемь.
Считают, что $AB = BA$. Обычно это не так — решатель показывает оба произведения рядом.
Пропускают проверку. Умножить найденную обратную на исходную и получить $E$ — лучшая проверка; решатель делает её всегда.

Что ещё посмотреть

Как матрица двигает и деформирует плоскость и откуда берётся смысл определителя — в главе «Матрицы как преобразования». Метод Гаусса целиком, ранг и теорема Кронекера — Капелли — в главе «Метод Гаусса». Собственные векторы, диагонализация, числа Фибоначчи через степени матрицы и PageRank — в главе о собственных векторах. Системы линейных уравнений по Крамеру и Гауссу решает решатель систем, а корни характеристического многочлена высокой степени поможет найти решатель многочленов.