Исследование функции и построение графика онлайн: полное решение по шагам

Введите функцию — решатель проведёт полное исследование по школьной схеме: область определения, чётность, нули, асимптоты, экстремумы, выпуклость и перегибы, — соберёт таблицу знаков и нарисует график со всеми найденными точками.

Примеры: y = x^3 - 3x y = x^2/(x - 1) y = x e^(-x) y = ln(x)/x y = x/(x^2 + 1) y = e^(-x^2) y = sin x + cos x y = cbrt(x)

Загружаем решатель…

Что можно ввести

Функцию одной переменной в любом привычном виде: y = x^3 - 3x, f(x) = x^2/(x - 1), x e^(-x), ln(x)/x, sqrt(4 - x^2), tg x. Слова «исследовать функцию» и «построить график» можно оставить — решатель их пропустит. Параметры вроде $a$ в $y = ax^2$ нужно заменить числами: исследование зависит от их значений.

План исследования

У «полного исследования» есть устоявшийся порядок, и он не случаен: каждый пункт опирается на предыдущие.

Область определения. Где выражение имеет смысл: знаменатели не ноль, под корнем чётной степени неотрицательное, под логарифмом положительное. От неё зависит всё остальное — разрывы, асимптоты, промежутки знакопостоянства.
Чётность и периодичность. Если $f(-x) = f(x)$, график симметричен относительно оси $Oy$; если $f(-x) = -f(x)$ — относительно начала координат. Периодическую функцию достаточно исследовать на одном периоде.
Пересечения с осями. $f(0)$ — точка на оси $Oy$, корни уравнения $f(x) = 0$ — на оси $Ox$.
Разрывы и вертикальные асимптоты. В точках, выпавших из области определения, считаем односторонние пределы. Бесконечный предел — вертикальная асимптота, конечный — «выколотая точка».
Асимптоты на бесконечности. Прямая $y = kx + b$, к которой график прижимается при $x \to \pm\infty$.
Первая производная. Нули и точки, где $f'$ не существует, — критические точки. По знаку $f'$ на промежутках между ними — возрастание и убывание, по смене знака — максимумы и минимумы.
Вторая производная. По её знаку — выпуклость, по смене знака — точки перегиба.
Таблица и график. Все найденные точки и знаки сводят в одну таблицу, по ней и рисуют график: сначала асимптоты, потом опорные точки, потом кривую, которая идёт между ними так, как велят знаки.

Почему знак производной говорит о росте

Связь между наклоном в каждой точке и поведением на целом промежутке даёт теорема Лагранжа о среднем значении: на любом отрезке найдётся точка, где мгновенная скорость равна средней.

Насколько изменилась функция на отрезке от $a$ до $b$.

Производная в какой-то внутренней точке $c$ — наклон касательной там.

Длина отрезка, всегда положительная при $a < b$.

Пример: $f(x) = x^2$ на $[1;\,3]$. Слева $9 - 1 = 8$, справа $f'(c) \cdot 2 = 2c \cdot 2$; равенство выполняется при $c = 2$. Если же $f' > 0$ на всём промежутке, то при $a < b$ правая часть положительна, значит, $f(b) > f(a)$: функция возрастает.

Отсюда весь метод. Внутри промежутка, где производная не обращается в ноль и не ломается, она сохраняет знак, поэтому хватит проверить одну точку. Если слева от критической точки функция росла, а справа убывает, в ней максимум; наоборот — минимум. Если знак не сменился, как у $y = x^3$ в нуле, экстремума нет, хотя $f'(0) = 0$.

С асимптотой рассуждение такое. Если график приближается к прямой $y = kx + b$, то разность $f(x) - kx - b$ стремится к нулю. Разделив её на $x$, получим $\frac{f(x)}{x} \to k$; зная $k$, находим $b = \lim (f(x) - kx)$. Если хотя бы один из пределов бесконечен или не существует, наклонной асимптоты нет; если $k = 0$, она горизонтальная.

Полный разбор: $y = \dfrac{x^2}{x - 1}$

1–3. Область определения, чётность, нули

Знаменатель не ноль: $x \ne 1$, $D = (-\infty;\,1) \cup (1;\,+\infty)$. Область несимметрична, поэтому функция ни чётная, ни нечётная; тригонометрии нет — не периодическая. $f(0) = 0$, и других корней у $x^2 = 0$ нет: график проходит через начало координат.

4–5. Асимптоты

При $x \to 1^-$ числитель близок к $1$, а знаменатель — маленькое отрицательное число, поэтому $f \to -\infty$; при $x \to 1^+$ получается $+\infty$. Прямая $x = 1$ — вертикальная асимптота.

На бесконечности: $k = \lim \frac{x^2}{x(x - 1)} = 1$ и $b = \lim\left(\frac{x^2}{x - 1} - x\right) = \lim \frac{x}{x - 1} = 1$. Наклонная асимптота $y = x + 1$ — одна и та же при $x \to +\infty$ и при $x \to -\infty$.

6. Первая производная

$$y' = \frac{2x(x - 1) - x^2}{(x - 1)^2} = \frac{x(x - 2)}{(x - 1)^2}.$$

Нули производной: $x = 0$ и $x = 2$; ещё она не существует при $x = 1$, но там не определена и сама функция. Знаменатель — квадрат, он положителен, так что знак задаёт числитель $x(x - 2)$: «$+$» на $(-\infty;\,0)$, «$-$» на $(0;\,1)$ и $(1;\,2)$, «$+$» на $(2;\,+\infty)$. В нуле знак меняется с плюса на минус — максимум $f(0) = 0$; в двойке с минуса на плюс — минимум $f(2) = 4$.

7. Вторая производная

$y'' = \frac{2}{(x - 1)^3}$. При $x < 1$ она отрицательна — график выпуклый вверх, при $x > 1$ положительна — выпуклый вниз. Знак меняется только в $x = 1$, где функции нет, поэтому точек перегиба нет.

8. Таблица и множество значений

$x$	$f'$	$f''$	$f$
$(-\infty;\,0)$	$+$	$-$	возрастает, $\cap$
$0$	$0$		max, $0$
$(0;\,1)$	$-$	$-$	убывает, $\cap$
$1$	не определена, асимптота
$(1;\,2)$	$-$	$+$	убывает, $\cup$
$2$	$0$		min, $4$
$(2;\,+\infty)$	$+$	$+$	возрастает, $\cup$

Левая ветвь поднимается из $-\infty$ до максимума $0$ и снова уходит в $-\infty$ у асимптоты; правая спускается из $+\infty$ до минимума $4$ и уходит вверх вдоль $y = x + 1$. Поэтому $E = (-\infty;\,0] \cup [4;\,+\infty)$: значений между $0$ и $4$ функция не принимает.

Второй пример короче. У $y = x e^{-x}$ область — вся прямая, $y' = e^{-x}(1 - x)$ даёт максимум $\left(1;\ \frac1e\right)$, $y'' = e^{-x}(x - 2)$ — перегиб в $\left(2;\ \frac{2}{e^2}\right)$. При $x \to +\infty$ экспонента побеждает, и $y = 0$ — горизонтальная асимптота; при $x \to -\infty$ функция уходит в $-\infty$ быстрее любой прямой, асимптоты нет.

Типичные ошибки

Промежутки знакопостоянства без точек разрыва. У $\frac{x^2}{x - 1}$ промежуток убывания — не $(0;\,2)$, а $(0;\,1)$ и $(1;\,2)$ по отдельности: через асимптоту функция не «убывает», она перескакивает из $-\infty$ в $+\infty$.
Ноль производной — ещё не экстремум. У $y = x^3$ производная $3x^2$ обращается в ноль при $x = 0$, но знак не меняется: это точка перегиба с горизонтальной касательной.
Забытые точки, где производной нет. У $y = |x|$ минимум в нуле, хотя $f'(0)$ не существует. Критические точки — и нули $f'$, и точки, где она не определена.
Перегиб там, где $f'' = 0$ без смены знака. У $y = x^4$ вторая производная $12x^2$ в нуле равна нулю, но график везде выпуклый вниз.
Асимптоты ищут только горизонтальные. Если $\frac{f(x)}{x}$ стремится к ненулевому числу, асимптота наклонная, как $y = x + 1$ выше. И её ищут отдельно при $x \to +\infty$ и $x \to -\infty$: у $e^{x}$ горизонтальная асимптота есть только слева.
Путаница в словах «выпуклая». В разных учебниках график-«чашу» называют выпуклым вниз или вогнутым. Решатель пишет «выпукла вниз» ($f'' > 0$, $\cup$) и «выпукла вверх» ($f'' < 0$, $\cap$) и рисует значок, чтобы не было двусмысленности.

Что ещё посмотреть

Что такое функция, область определения, чётность и монотонность — в главе «Функции и графики» (разделы об области определения, о симметрии и о монотонности). Экстремумы, теорема Ферма и теорема Лагранжа — в главе об оптимизации. Каждый шаг исследования можно проверить отдельно: производную, пределы для асимптот, неравенства для области определения и знаков. Потренироваться в поиске экстремумов — в тренажёре.