This chapter hasn’t been translated into English yet, so here is the Russian original. Your browser can translate the page; the formulas and widgets work the same. Back to the English contents →

Решатель

Решить треугольник онлайн: стороны, углы, площадь — с решением и чертежом

Задайте три элемента треугольника — решатель найдёт остальные по теоремам синусов и косинусов, разберёт случай двух решений и построит чертёж в масштабе.

Примеры: a = 5, b = 7, C = 60° 3, 4, 5 AB = 6, BC = 8, ∠B = 30° A = 30°, B = 45°, c = 10 a = 6, b = 10, A = 30° катеты 3 и 4 a = 1, b = 2, c = 4

Загружаем решатель…

Что можно ввести

Шесть полей над строкой ввода — три стороны и три угла. Заполните любые три, и хотя бы одно из них пусть будет стороной: решатель найдёт остальные, построит треугольник в масштабе и посчитает площадь, периметр, высоты, медианы, биссектрисы и радиусы вписанной и описанной окружностей. Обозначения школьные: сторона $a$ лежит против угла $A$, сторона $b$ — против $B$, сторона $c$ — против $C$. Можно писать и через вершины: $AB = c$, $BC = a$, $AC = b$, угол — как $\angle B$ или «угол ABC».

Строкой задача пишется так: «a = 5, b = 7, C = 60°», «AB = 6; BC = 8; ∠B = 30°». Три числа без подписей решатель считает тремя сторонами. Углы — в градусах, можно с минутами (40°30′) или через $\pi$ (π/3); длины — целые, десятичные, дробные и с корнем (2√3). Для прямоугольного треугольника подойдёт и «катеты 3 и 4», «гипотенуза 13, катет 5».

Какие три элемента задают треугольник

Признаки равенства треугольников из седьмого класса отвечают ровно на этот вопрос: если две фигуры совпадают по таким-то трём элементам, они совпадают целиком — значит, по этим элементам треугольник можно восстановить. Три стороны; две стороны и угол между ними; сторона и два угла. Для каждого случая есть своя дорога.

Три стороны. Углы находим по теореме косинусов. Сначала проверяем неравенство треугольника: самая длинная сторона должна быть короче суммы двух других.
Две стороны и угол между ними. Третью сторону даёт теорема косинусов, дальше задача сводится к предыдущей.
Сторона и два угла. Третий угол — из суммы $180^\circ$, стороны — по теореме синусов.
Две стороны и угол не между ними. Признака равенства для этого случая нет, и не случайно: треугольников может оказаться два, один или ни одного. Этот случай разобран отдельно ниже.
Три угла. Они задают только форму: треугольник можно растянуть в любое число раз, и углы не изменятся. Решатель в этом случае найдёт отношение сторон.

Теорема косинусов

Квадрат стороны, лежащей против угла $C$.

Сумма квадратов двух других сторон — то, что было бы по теореме Пифагора.

Поправка на угол. При $C = 90^\circ$ косинус равен нулю, и остаётся теорема Пифагора. Острый угол — косинус положительный, сторона $c$ короче «пифагоровой»; тупой — косинус отрицательный, сторона длиннее.

Пример: $a = 5$, $b = 7$, $C = 60^\circ$. Тогда $c^2 = 25 + 49 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \frac12 = 39$, $c = \sqrt{39} \approx 6{,}245$.

Почему это верно. Поставим вершину $C$ в начало координат, а сторону $CA$ положим на ось абсцисс: $A = (b;\ 0)$. Вершина $B$ лежит на расстоянии $a$ от $C$ под углом $C$ к оси: $B = (a\cos C;\ a\sin C)$. Квадрат расстояния между $A$ и $B$ по теореме Пифагора равен $(a\cos C - b)^2 + a^2\sin^2 C = a^2(\cos^2 C + \sin^2 C) - 2ab\cos C + b^2$, а $\cos^2 C + \sin^2 C = 1$. Получилась ровно формула сверху — и для острого, и для тупого угла.

Из той же формулы находится угол по трём сторонам: $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$. Косинус на отрезке от $0^\circ$ до $180^\circ$ принимает каждое значение один раз, так что арккосинус даёт угол однозначно. Поэтому решатель находит углы через косинусы, а не через синусы.

Теорема синусов

Сторона треугольника.

Синус противолежащего ей угла.

Диаметр описанной окружности — одно и то же число для всех трёх отношений.

Пример: $A = 30^\circ$, $B = 45^\circ$, $a = 10$. Тогда $\frac{a}{\sin A} = \frac{10}{1/2} = 20$, и $b = 20 \sin 45^\circ = 10\sqrt2 \approx 14{,}14$.

Доказательство занимает строчку. Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними, и посчитать её можно тремя способами: $S = \frac12 ab\sin C = \frac12 bc\sin A = \frac12 ca\sin B$. Разделим все три выражения на $\frac12 abc$ — получится $\frac{\sin C}{c} = \frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b}$. То, что общее отношение равно $2R$, следует из теоремы о вписанном угле.

Две стороны и угол не между ними: ноль, один или два

Пусть известны острый угол $A$, прилежащая сторона $b$ и сторона $a$ против угла. Отложим угол $A$ и на одной его стороне отрезок $AC = b$. Сторона $a$ начинается в $C$ и должна достать до второй стороны угла, то есть $B$ лежит на окружности радиуса $a$ с центром $C$. Кратчайшее расстояние от $C$ до этой прямой — высота $h = b\sin A$.

$a < h$ — окружность не достаёт до прямой, треугольника нет.
$a = h$ — касается в одной точке: треугольник один, прямоугольный.
$h < a < b$ — окружность пересекает луч в двух точках: треугольников два, с острым и с тупым углом $B$.
$a \ge b$ — вторая точка пересечения уходит за вершину $A$, треугольник один.

Если же угол $A$ прямой или тупой, он самый большой в треугольнике, и лежащая против него сторона $a$ должна быть самой длинной: при $a > b$ треугольник один, иначе его нет.

Алгебраически это видно из теоремы синусов: $\sin B = \frac{b\sin A}{a}$. Если синус больше единицы — решений нет. Если меньше — подходят и $B$, и $180^\circ - B$, у них один и тот же синус; второй вариант годится, только если вместе с $A$ он меньше $180^\circ$. Калькулятор со своим арксинусом всегда выдаёт острый угол и тупой вариант теряет — это самая частая ошибка в таких задачах. Решатель проверяет оба и рисует построение с окружностью.

Прямоугольный треугольник

Если один угол прямой, всё проще: против него лежит гипотенуза, а теоремы синусов и косинусов превращаются в определения. Теорема Пифагора $c^2 = a^2 + b^2$ связывает стороны; синус острого угла — противолежащий катет, делённый на гипотенузу, косинус — прилежащий катет на гипотенузу, тангенс — противолежащий на прилежащий. Острые углы в сумме дают $90^\circ$. Площадь — половина произведения катетов.

Площадь, высоты, медианы, окружности

Когда стороны и углы известны, остальное считается по готовым формулам, и решатель собирает их в таблицу. Площадь — $S = \frac12 ab\sin C$ или по формуле Герона $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр. Высота к стороне $a$ — $h_a = \frac{2S}{a}$. Медиана — $m_a = \frac12\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}$. Радиус описанной окружности — $R = \frac{a}{2\sin A}$, вписанной — $r = \frac{S}{p}$. Кнопки над чертежом показывают высоты, медианы, биссектрисы и обе окружности.

Разобранные примеры

Пример 1. Две стороны и угол между ними: $a = 5$, $b = 7$, $C = 60^\circ$

По теореме косинусов $c^2 = 25 + 49 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \frac12 = 39$, $c = \sqrt{39} \approx 6{,}245$. Угол против меньшей стороны $a$ острый: $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{49 + 39 - 25}{14\sqrt{39}} \approx 0{,}7206$, $A \approx 43{,}9^\circ$. Третий угол: $B = 180^\circ - 60^\circ - 43{,}9^\circ \approx 76{,}1^\circ$. Площадь: $S = \frac12 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \frac{\sqrt3}{2} = \frac{35\sqrt3}{4} \approx 15{,}16$.

Пример 2. Три стороны: $a = 7$, $b = 8$, $c = 9$

Неравенство треугольника выполнено: $9 < 7 + 8$. Самый большой угол лежит против самой длинной стороны: $\cos C = \frac{49 + 64 - 81}{2 \cdot 7 \cdot 8} = \frac{32}{112} = \frac27$, $C \approx 73{,}40^\circ$ — острый, значит, треугольник остроугольный. Дальше $\cos A = \frac{64 + 81 - 49}{2 \cdot 8 \cdot 9} = \frac23$, $A \approx 48{,}19^\circ$, и $B \approx 58{,}41^\circ$. По Герону $p = 12$, $S = \sqrt{12 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3} = \sqrt{720} = 12\sqrt5 \approx 26{,}83$.

Пример 3. Два треугольника: $a = 6$, $b = 10$, $A = 30^\circ$

Высота $h = b\sin A = 5$, и $5 < 6 < 10$ — ждём два решения. По теореме синусов $\sin B = \frac{10 \cdot \frac12}{6} = \frac56$, отсюда $B_1 \approx 56{,}44^\circ$ или $B_2 = 180^\circ - B_1 \approx 123{,}56^\circ$. Оба годятся: $30^\circ + 123{,}56^\circ < 180^\circ$. Для первого $C_1 \approx 93{,}56^\circ$ и $c_1 = \frac{6 \sin C_1}{\sin 30^\circ} \approx 11{,}98$; для второго $C_2 \approx 26{,}44^\circ$ и $c_2 \approx 5{,}34$.

Пример 4. Прямоугольный: гипотенуза $c = 10$, острый угол $A = 30^\circ$

Катет против угла $30^\circ$ равен половине гипотенузы: $a = c\sin 30^\circ = 5$. Второй катет $b = c\cos 30^\circ = 5\sqrt3 \approx 8{,}66$, второй острый угол $B = 60^\circ$. Площадь $S = \frac12 ab = \frac{25\sqrt3}{2} \approx 21{,}65$.

Типичные ошибки

Путают, какая сторона против какого угла. В теоремах синусов и косинусов сторона $a$ всегда стоит в паре с углом $A$, лежащим напротив. $BC$ — это $a$, а не $b$.
Теряют второй треугольник. По двум сторонам и углу не между ними арксинус даёт только острый угол, а подходить может и тупой $180^\circ - B$.
Калькулятор в радианах. $\cos 60$ в радианах — это примерно $-0{,}95$, а не $\frac12$. Проверьте режим DEG.
Теряют знак у косинуса тупого угла. Для $C = 120^\circ$ $\cos C = -\frac12$, и последнее слагаемое в теореме косинусов прибавляется: $c^2 = a^2 + b^2 + ab$.
Ищут угол через синус, когда он может быть тупым. Синусы $50^\circ$ и $130^\circ$ равны. Угол по трём сторонам надёжнее находить через косинус.
Не проверяют неравенство треугольника. Стороны 1, 2 и 4 треугольника не образуют: $1 + 2 < 4$. Формула Герона при этом даёт корень из отрицательного числа.
Округляют промежуточные результаты. Если округлить $c \approx 6{,}2$ и дальше считать с ним, углы поедут в десятых долях градуса. Промежуточные числа лучше держать точными — решатель так и делает, оставляя $\sqrt{39}$ до самого конца.

Что ещё посмотреть

Признаки равенства, неравенство треугольника, медианы, биссектрисы и замечательные точки с прямой Эйлера — в главе «Треугольник». Синус, косинус и тангенс на единичной окружности, теоремы синусов и косинусов и то, как по ним измеряли Землю, — в главе о тригонометрии. Если в задаче получилось уравнение вроде $\sin x = \frac56$ и нужны все его решения, поможет решатель тригонометрических уравнений, а квадратное уравнение из теоремы косинусов с неизвестной стороной решит решатель квадратных уравнений.