This chapter hasn’t been translated into English yet, so here is the Russian original. Your browser can translate the page; the formulas and widgets work the same. Back to the English contents →

Решатель

Арифметическая и геометрическая прогрессия онлайн: калькулятор с решением

Введите то, что известно, — первый член, разность или знаменатель, любые члены, сумму — и решатель найдёт остальное: n-й член, сумму, число членов, сумму бесконечной прогрессии, с объяснением каждого шага.

Примеры: a1 = 3, d = 4, найти a20 и S20 a3 = 7, a8 = 22 b2 = 6, b5 = 162 b2 = 4, b4 = 16 1 + 3 + 5 + … + 99 a1 = 10, d = -2, Sn = 30 8, 4, 2, … бесконечная сумма a5 = 12, S9 = ?

Загружаем решатель…

Что можно ввести

Обозначения школьные: члены арифметической прогрессии — $a_1, a_2, \ldots$, геометрической — $b_1, b_2, \ldots$, разность — $d$, знаменатель — $q$, сумма первых $n$ членов — $S_n$. По букве решатель и понимает, о какой прогрессии речь: a3 = 7, a8 = 22 — арифметическая, b2 = 6, b5 = 162 — геометрическая. Что найти, пишите после слова «найти» или со знаком вопроса: S9 = ?. Если не написать ничего, решатель найдёт первый член, разность или знаменатель и формулу $n$-го члена.

Можно ввести и сами числа: 2, 6, 18, … — решатель проверит, какая это прогрессия, а 1 + 3 + 5 + … + 99 сложит, заодно посчитав, сколько там слагаемых. Дроби пишутся через косую черту (q = 1/3), десятичные — через запятую.

Какая это прогрессия

Если даны сами числа, вид прогрессии проверяют двумя вычислениями. Вычтите из каждого числа предыдущее: если разности одинаковые, прогрессия арифметическая, и эта разность — $d$. Разделите каждое число на предыдущее: если отношения одинаковые, прогрессия геометрическая со знаменателем $q$. У последовательности $3, 7, 11, 15$ разности равны 4, у $3, 6, 12, 24$ отношения равны 2. А у $1, 2, 4, 7$ не совпадают ни разности (1, 2, 3), ни отношения (2, 2, $\frac74$), и это вовсе не прогрессия, хотя первые три числа и похожи на геометрическую. Поэтому двух чисел мало: 2 и 6 годятся и для «прибавляем 4», и для «умножаем на 3».

Единственная последовательность, которая одновременно и арифметическая, и геометрическая, — постоянная: $5, 5, 5, \ldots$ с $d = 0$ и $q = 1$.

Арифметическая прогрессия: всё через $a_1$ и $d$

В арифметической прогрессии каждый член больше предыдущего на одно и то же число $d$. Поэтому до $n$-го члена от первого нужно сделать $n - 1$ одинаковых шагов:

Номер члена. Шагов на один меньше: от первого до первого — ноль шагов.

Первый член — откуда начинаем.

Разность: на сколько каждый член больше предыдущего. Может быть отрицательной или нулём.

Пример: $a_1 = 3$, $d = 4$, тогда $a_{20} = 3 + 19 \cdot 4 = 79$.

Главная мысль всех задач: любой член и любая сумма выражаются через два числа, $a_1$ и $d$. Значит, двух независимых условий достаточно, чтобы найти всё. Даны $a_3 = 7$ и $a_8 = 22$? Пишем $a_1 + 2d = 7$ и $a_1 + 7d = 22$, вычитаем — $a_1$ пропадает: $5d = 15$, $d = 3$, $a_1 = 1$. Вычитание здесь имеет простой смысл: между третьим и восьмым членами пять шагов, и они дают прирост $22 - 7 = 15$.

Сумму первых $n$ членов считают по способу, который приписывают юному Гауссу: складывают первый член с последним, второй с предпоследним и так далее. Каждая пара даёт одно и то же, потому что при движении от краёв к середине одно слагаемое растёт на $d$, а другое на столько же убывает.

Сколько членов складываем.

Первый член.

Последний из складываемых. Если он неизвестен, подставляем $a_n = a_1 + (n-1)d$ — получается вторая форма.

Пример: $1 + 2 + \ldots + 100 = \frac{1 + 100}{2} \cdot 100 = 5050$. А для $a_1 = 3$, $d = 4$: $S_{20} = \frac{3 + 79}{2} \cdot 20 = 820$.

Формула работает и для нечётного $n$: средний член тогда стоит без пары, но он как раз равен полусумме крайних. Отсюда любимый приём олимпиад и ОГЭ: $S_9 = 9 \cdot a_5$. Если известен только пятый член, найти $a_1$ и $d$ нельзя, а сумму первых девяти — можно.

Геометрическая прогрессия: всё через $b_1$ и $q$

Здесь каждый член в $q$ раз больше предыдущего, и шаги превращаются в умножения: $b_n = b_1 q^{n-1}$. По двум членам знаменатель находят делением — $b_1$ сокращается: $\frac{b_5}{b_2} = q^3 = \frac{162}{6} = 27$, откуда $q = 3$ и $b_1 = \frac{6}{3} = 2$. Осторожно с чётной степенью: если $\frac{b_4}{b_2} = q^2 = 4$, то подходят и $q = 2$, и $q = -2$. Это две разные прогрессии, $2, 4, 8, \ldots$ и $-2, 4, -8, \ldots$, и в ответе должны быть обе.

Сколько членов складываем.

Первый член.

Знаменатель. При $q = 1$ все члены равны и $S_n = n b_1$.

Откуда формула: умножим $S_n = b_1 + b_1 q + \ldots + b_1 q^{n-1}$ на $q$ — все слагаемые сдвинутся на одно место. Вычтем исходную сумму: середина сократится, останется $qS_n - S_n = b_1 q^n - b_1$. Пример: $b_1 = 2$, $q = 3$, $S_5 = 2 \cdot \frac{243 - 1}{2} = 242$.

Если $|q| < 1$, члены быстро уменьшаются, $q^n$ стремится к нулю, и у прогрессии появляется сумма всех членов — бесконечная сумма $S = \frac{b_1}{1 - q}$. Так $8 + 4 + 2 + 1 + \ldots = \frac{8}{1 - 1/2} = 16$: каждая следующая частичная сумма закрывает половину оставшегося до 16 расстояния. При $|q| \ge 1$ такой суммы нет, и решатель так и скажет.

Разобранные примеры

Пример 1. Сумма нечётных чисел до 99

$1 + 3 + 5 + \ldots + 99$ — арифметическая прогрессия с $a_1 = 1$ и $d = 2$. Сначала узнаём, сколько слагаемых: $99 = 1 + (n - 1) \cdot 2$, откуда $n - 1 = 49$, $n = 50$. Теперь сумма: $S_{50} = \frac{1 + 99}{2} \cdot 50 = 2500$. Заметьте: $2500 = 50^2$, и это не совпадение — сумма первых $n$ нечётных чисел всегда равна $n^2$.

Пример 2. Сколько членов нужно сложить

$a_1 = 10$, $d = -2$; сколько первых членов дают в сумме 30? Подставляем в формулу суммы: $\frac{20 + (n-1)(-2)}{2} \cdot n = 30$, то есть $n(11 - n) = 30$, или $n^2 - 11n + 30 = 0$. Корни $n = 5$ и $n = 6$ — оба натуральные, и оба верны: $10 + 8 + 6 + 4 + 2 = 30$, а шестой член равен нулю и сумму не меняет.

Пример 3. Два члена геометрической прогрессии

$b_2 = 4$, $b_4 = 16$. Делим: $q^2 = 4$, значит, $q = 2$ или $q = -2$. Первый член: $b_1 = \frac{b_2}{q}$, то есть $2$ или $-2$. Получаются прогрессии $2, 4, 8, 16, \ldots$ и $-2, 4, -8, 16, \ldots$ — у обеих второй член 4, а четвёртый 16. Если в задаче сказано, что члены положительные, остаётся первая.

Пример 4. Бесконечная сумма

$8 + 4 + 2 + 1 + \ldots$ Отношения соседних равны $\frac12$, прогрессия геометрическая, $|q| < 1$. Сумма $S = \frac{8}{1 - \frac12} = 16$. Частичные суммы 8, 12, 14, 15, $15\frac12$, … подходят к 16 всё ближе, и никакая из них 16 не достигает.

Пример 5. Известен только пятый член

$a_5 = 12$. Найти $S_9$. Двух условий нет, и ни $a_1$, ни $d$ не найти: подойдёт и прогрессия $12, 12, 12, \ldots$, и $4, 6, 8, \ldots$ Но сумма у всех таких прогрессий одна. Запишем её через $a_1$ и $d$: $S_9 = 9a_1 + 36d = 9(a_1 + 4d) = 9a_5 = 108$. Проверка на двух прогрессиях: $12 \cdot 9 = 108$ и $4 + 6 + \ldots + 20 = \frac{4 + 20}{2} \cdot 9 = 108$.

Типичные ошибки

$a_n = a_1 + nd$ вместо $a_1 + (n-1)d$. Шагов на один меньше, чем номер. Проверка на $n = 1$ ловит ошибку сразу.
Потерянный отрицательный знаменатель. Из $q^2 = 4$ следует $q = \pm 2$, а не только $q = 2$.
Сумма $n$ членов вместо $n$-го члена и наоборот. $S_{10}$ — это сумма десяти чисел, а $a_{10}$ — одно число.
Неверное число членов. В сумме $2 + 5 + \ldots + 98$ не $98 : 3$ слагаемых, а $\frac{98 - 2}{3} + 1 = 33$.
Бесконечная сумма при $|q| \ge 1$. Формула $\frac{b_1}{1 - q}$ при $q = 2$ даёт отрицательное число для положительных членов — верный признак, что её применили там, где нельзя.
Геометрическая прогрессия с нулём. По определению $b_1 \ne 0$ и $q \ne 0$, иначе делить члены друг на друга нельзя.

Что ещё посмотреть

Откуда взялись прогрессии, как Гаусс складывал числа от 1 до 100 и почему Ахиллес всё-таки догоняет черепаху — в главе «Последовательности и индукция»: про арифметическую прогрессию — в разделе «Прогрессия с шагом», про геометрическую — «Прогрессия с множителем», про бесконечную сумму — «Ахиллес и черепаха». Если число членов ищется из квадратного уравнения, его подробно решит решатель квадратных уравнений, а задачи о вкладах, где деньги растут геометрической прогрессией, — калькулятор процентов.