Решение уравнений высших степеней онлайн: схема Горнера и разложение на множители

Кубические, биквадратные и другие уравнения степени выше второй, разложение многочлена на множители и деление многочленов уголком — по шагам, с объяснением каждого действия и графиком.

Примеры: x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0 x^4 - 5x^2 + 4 = 0 2x^3 - x^2 - 8x + 4 = 0 x^3 = 8 разложить x^4 - 16 (x^3 - 2x^2 - 4)/(x - 3) x^3 - 2x - 5 = 0

Загружаем решатель…

Что можно ввести

Решатель понимает три вида задач.

Уравнение — со знаком равенства: x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0, x^4 = 16, (x - 1)^2(x + 2) = 0. Ищет все действительные корни и их кратности.
Разложение на множители — многочлен без знака равенства, можно со словом «разложить»: разложить x^4 - 16. Раскладывает над рациональными числами и заодно находит корни.
Деление многочленов — дробь из двух многочленов или слова «раздели … на …»: (x^3 - 2x^2 - 4)/(x - 3), остаток от деления x^5 + 1 на x + 1. Делит уголком и находит частное и остаток.

Коэффициенты — целые, дробные или десятичные числа; степень — до двенадцатой. Уравнения с параметром или с неизвестным под корнем решатель не берёт и прямо говорит об этом.

Как решать: от простого к сложному

Для уравнений третьей степени и выше нет одной формулы, которой было бы удобно пользоваться, как дискриминантом для квадратных. Зато есть набор приёмов, и пробовать их стоит в определённом порядке — от самых дешёвых к самым трудоёмким. Решатель идёт тем же путём.

Стандартный вид. Переносим всё в левую часть, раскрываем скобки, приводим подобные. Исключение — если уравнение уже разложено на множители, как $(x - 1)^2(x + 2) = 0$: тогда раскрывать скобки вредно, а надо приравнять к нулю каждый множитель.
Выносим $x^k$. Если нет свободного члена, в каждом слагаемом есть $x$. Из $x^5 - x = 0$ получаем $x(x^4 - 1) = 0$: корень $x = 0$ уже есть, дальше работаем со скобкой.
Узнаём особый вид. Уравнение $x^n = c$ решается извлечением корня. Биквадратное $ax^4 + bx^2 + c = 0$ после замены $t = x^2$ становится квадратным (так же работает замена $t = x^m$ для $ax^{2m} + bx^m + c$). Четыре слагаемых кубического уравнения иногда удаётся сгруппировать по два так, что появляется общая скобка.
Ищем рациональные корни. Кандидатов конечное число — делители свободного члена, делённые на делители старшего коэффициента. Подставляем их по очереди; найденный корень $r$ позволяет разделить многочлен на $x - r$ по схеме Горнера и понизить степень на единицу.
Остался квадратный трёхчлен — решаем через дискриминант.
Ничего не сработало — корни находим приближённо, с четырьмя знаками после запятой, и честно помечаем их знаком $\approx$.

Почему это работает

Всё держится на одном факте о делении многочленов. Разделим многочлен $P(x)$ на $x - a$ с остатком, как числа в столбик. Делитель первой степени, значит, остаток — просто число. Какое? Подставим в равенство $P(x) = (x - a)Q(x) + R$ значение $x = a$: первое слагаемое обнулится, и останется $R = P(a)$.

Любое число. Если $P(a) = 0$, то $a$ — корень, и многочлен делится на $x - a$ без остатка.

Частное — многочлен на единицу меньшей степени. Остальные корни $P$ — это корни $Q$.

Остаток от деления на $x - a$ равен значению многочлена в точке $a$.

Пример: $P(x) = x^3 - 2x^2 - 4$ и $a = 3$. Значение $P(3) = 27 - 18 - 4 = 5$, и действительно $x^3 - 2x^2 - 4 = (x - 3)(x^2 + x + 3) + 5$ — раскройте скобки и проверьте.

Отсюда следует, что найти корень — значит понизить степень. А откуда брать кандидатов? Пусть у многочлена с целыми коэффициентами $a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0$ есть рациональный корень $\frac{p}{q}$, дробь несократимая. Подставим его и умножим на $q^n$:

$$a_n p^n + a_{n-1} p^{n-1} q + \dots + a_1 p q^{n-1} + a_0 q^n = 0.$$

Все слагаемые, кроме последнего, делятся на $p$, значит, и $a_0 q^n$ делится на $p$; а раз $p$ и $q$ взаимно просты, $p$ делит $a_0$. Точно так же $q$ делит $a_n$. Для $2x^3 - x^2 - 8x + 4$ кандидаты — $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm \frac12$, и больше рациональных корней быть не может. Если старший коэффициент равен $1$, рациональные корни могут быть только целыми делителями свободного члена.

Схема Горнера — быстрый способ и подставить кандидата, и разделить на $x - a$ одновременно. Выписываем коэффициенты, сносим первый, а дальше каждое следующее число нижней строки равно предыдущему, умноженному на $a$, плюс коэффициент над ним. Для $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ и $a = 1$:

$$\begin{array}{c|cccc} & 1 & -6 & 11 & -6 \\ \hline 1 & 1 & -5 & 6 & 0 \end{array}$$

Последнее число — остаток, то есть $P(1) = 0$: единица — корень. Остальные числа нижней строки — коэффициенты частного: $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x - 1)(x^2 - 5x + 6)$. Если корень кратный, его нужно проверить ещё раз уже на частном: так $x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 4x + 4$ делится на $x + 1$ дважды.

Разобранные примеры

Пример 1. Рациональные корни: $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$

Старший коэффициент $1$, свободный член $-6$, кандидаты $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$. Первый же подходит: $P(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0$. Схема Горнера (она выписана выше) даёт частное $x^2 - 5x + 6$, его корни по формуле — $2$ и $3$. Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$, $x_3 = 3$, и заодно разложение $(x - 1)(x - 2)(x - 3)$.

Пример 2. Биквадратное: $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$

Неизвестное входит только как $x^2$ и $x^4 = (x^2)^2$. Замена $t = x^2$ даёт $t^2 - 5t + 4 = 0$, откуда $t = 1$ или $t = 4$. Обратная замена: $x^2 = 1$ даёт $x = \pm 1$, $x^2 = 4$ даёт $x = \pm 2$. Четыре корня: $-2$, $-1$, $1$, $2$. Если бы одно из значений $t$ оказалось отрицательным, оно корней не дало бы: $x^2$ не бывает меньше нуля.

Пример 3. Группировка: $2x^3 - x^2 - 8x + 4 = 0$

Первые два слагаемых — $x^2(2x - 1)$, последние два — $-4(2x - 1)$. Общая скобка выносится: $(2x - 1)(x^2 - 4) = 0$. Отсюда $x = \frac12$ или $x^2 = 4$, то есть $x = \pm 2$. Перебор кандидатов $\pm1, \pm2, \pm4, \pm\frac12$ привёл бы к тому же, но дольше.

Пример 4. Когда точного ответа нет: $x^3 - 2x - 5 = 0$

Кандидаты $\pm1$ и $\pm5$: $P(1) = -6$, $P(-1) = -4$, $P(5) = 110$, $P(-5) = -120$ — ни одного корня. Рациональных корней нет, и разложить многочлен над рациональными числами нельзя. Для кубических уравнений существует формула Кардано (1545), но её ответ громоздок, поэтому корень ищут численно. Между $2$ и $3$ значение меняет знак ($P(2) = -1$, $P(3) = 16$), и, деля отрезок пополам, получаем $x \approx 2{,}0946$. На этом уравнении Ньютон когда-то показывал свой способ приближённого решения. Два других корня — комплексные.

Пример 5. Деление уголком: $(x^3 - 2x^2 - 4) : (x - 3)$

Пропущенную степень держим в уме как $0x$. Делим старшие члены: $x^3 : x = x^2$; вычитаем $x^2(x - 3) = x^3 - 3x^2$, остаётся $x^2 - 4$. Дальше $x^2 : x = x$; вычитаем $x^2 - 3x$, остаётся $3x - 4$. Наконец, $3x : x = 3$; вычитаем $3x - 9$, остаётся $5$. Частное $x^2 + x + 3$, остаток $5$ — ровно $P(3)$, как и обещает теорема Безу.

Типичные ошибки

Пропускают нулевые коэффициенты в схеме Горнера. У $x^3 - 2x^2 - 4$ коэффициенты $1, -2, 0, -4$, а не $1, -2, -4$: без нуля получится другой многочлен.
Ищут корни только среди положительных делителей. Кандидаты всегда идут парами $\pm$, а при старшем коэффициенте не равном единице — ещё и дробями вида $\frac{p}{q}$.
Не проверяют найденный корень повторно. Корень может быть кратным: у $(x - 1)^2(x + 2)$ единица — корень частного тоже. Кратность важна для графика и неравенств: в корне чётной кратности график касается оси, не пересекая её.
В биквадратном уравнении оставляют отрицательное $t$. Из $x^2 = -3$ корней не бывает; при обратной замене такие $t$ отбрасывают.
Решают $x^3 = 8$ как $x = \pm 2$. Нечётная степень не стирает знак: $(-2)^3 = -8$. Действительный корень один, $x = 2$.
Делят обе части на $x$. Из $x^5 = x$ «сокращением» получается $x^4 = 1$, и корень $x = 0$ пропадает. Выносите $x$ за скобки.
Раскрывают скобки в уравнении, уже разложенном на множители. $(x - 1)^2(x + 2) = 0$ решается в одну строку: $x = 1$ или $x = -2$. После раскрытия придётся искать эти корни заново.

Что ещё посмотреть

Дуэль Тартальи и Фиоре, формула Кардано и её неприводимый случай, интерполяция и разделение секрета Шамира — в главе «Многочлены». Почему для пятой степени нет общей формулы, объясняет теория Галуа — к ней курс ещё вернётся. Квадратный трёхчлен, который остаётся после понижения степени, подробно решает решатель квадратных уравнений, а неравенства с многочленами — метод интервалов, где кратности корней решают, меняется ли знак.