Калькулятор процентов онлайн с решением: от числа, изменение, вклад, кредит

Процент от числа, число по проценту, на сколько процентов изменилось, цепочки скидок и наценок, вклад со сложными процентами и график платежей по кредиту — с объяснением каждого шага.

Примеры: 15% от 240 x% от 240 = 36 с 80 до 100 +20% −20% после скидки 20% цена 800 вклад 100000 под 8% на 3 года, капитализация ежемесячно кредит 1000000 под 12% на 5 лет, аннуитетный кредит 9930000 под 10% на 3 года, платежи раз в год

Загружаем решатель…

Что можно ввести

Кнопки над полем выбирают тип задачи, и для каждого открывается короткая фраза с пропусками: «[15] % от [240]», «было [80], стало [100]», «кредит [1 000 000] под [12] % годовых на [5] лет». Ответ пересчитывается, пока вы печатаете. Ту же задачу можно написать словами в поле ниже — решатель понимает обычные формулировки из учебников и жизни: «сколько процентов 36 от 240», «на сколько процентов 100 больше 80», «после скидки 20% цена 800», «вклад 100000 под 8% на 3 года с ежемесячной капитализацией», «кредит 1 млн под 12% на 5 лет, дифференцированный».

Тысячи можно отделять пробелом (1 000 000) или писать словами («2,5 млн», «300 тыс»), дробную часть — через запятую. Для вклада задаются сумма, ставка, срок, как часто проценты прибавляются к вкладу и ежемесячное пополнение; для кредита — сумма, ставка, срок, схема платежей и платежи раз в месяц или раз в год, как в экономических задачах ЕГЭ. В ответе будет график платежей, который можно скопировать в таблицу.

Процент — это сотая часть

Слово пришло из латыни: pro centum — «на сотню». Сказать «15 % учеников» — всё равно что сказать «15 из каждой сотни». Поэтому процент — обычная дробь со знаменателем 100: $15\% = \frac{15}{100} = 0{,}15$. Вся арифметика процентов держится на этом равенстве.

Часть — то, что составляет $p$ процентов от целого.

Целое — число, которое принимаем за 100 %. Именно с ним сравнивают.

Процент. Делённый на 100, он превращается в долю: 15 % — это 0,15.

Пример: $15\%$ от $240$ — это $240 \cdot 0{,}15 = 36$. Обратно: $36$ составляет $\frac{36}{240} = 0{,}15 = 15\%$ от $240$, а число, $15\%$ которого равны $36$, — это $36 : 0{,}15 = 240$.

Три школьные задачи — это одна формула, в которой неизвестна одна из трёх букв. Нужен процент от числа — умножаем число на долю. Нужно число по его проценту — делим часть на долю. Нужно узнать, сколько процентов одно число составляет от другого, — делим часть на целое и умножаем на 100 %. Если сомневаетесь, что на что делить, спросите себя: что здесь 100 %? Это и есть целое.

Изменение в процентах и почему проценты не складываются

Цена была 80 рублей, стала 100. Разница — 20 рублей, но в процентах она зависит от того, с чем сравнивать. Изменение считают от старого значения: $\frac{20}{80} = 0{,}25$, то есть цена выросла на 25 %. Если же цена вернётся со 100 до 80, она упадёт на $\frac{20}{100} = 20\%$ — те же 20 рублей, но от другой базы. Отсюда и путаница в новостях: «подорожало на 25 %, потом подешевело на 20 %» — и цена вернулась ровно туда, где была.

Удобнее всего думать о процентном изменении как об умножении. Увеличить на 15 % — значит оставить 100 % и добавить ещё 15 %, то есть умножить на 1,15. Уменьшить на 20 % — умножить на 0,8. Тогда цепочка изменений — это произведение множителей:

$$+20\%,\ -20\%:\qquad 1{,}2 \cdot 0{,}8 = 0{,}96.$$

После повышения на 20 % и снижения на 20 % остаётся 96 % исходного — минус 4 %, а не ноль. Второй процент берётся уже от новой, большей цены. По той же причине повышение на 10 % дважды даёт $1{,}1^2 = 1{,}21$, то есть 21 %, а не 20 %.

Обратная задача — «после скидки 20 % товар стоит 800, сколько он стоил» — решается делением на тот же множитель: $800 : 0{,}8 = 1000$. Прибавить к 800 те же 20 % нельзя: получится 960, потому что 20 % от 800 меньше, чем 20 % от 1000.

Сложные проценты и вклад

Банк начисляет 8 % годовых. Если проценты каждый год прибавляются к вкладу, на следующий год они сами приносят проценты. Каждый год вклад умножается на одно и то же число $1{,}08$, и за $n$ лет — на $1{,}08^n$. Так рождается степень, а с ней и название «сложные проценты». Без капитализации прибавка каждый год одна и та же, 8 % от начальной суммы, и рост линейный: это простые проценты.

Сумма на счёте в конце срока.

Начальный вклад.

Годовая ставка в долях: 8 % — это 0,08.

Сколько раз в год проценты прибавляются к вкладу: 1 — раз в год, 4 — раз в квартал, 12 — каждый месяц. За один такой период начисляется $\frac{r}{m}$.

Срок в годах; всего периодов $mt$.

Пример: 100 000 под 8 % на 3 года с ежемесячной капитализацией — $100\,000 \cdot \left(1 + \frac{0{,}08}{12}\right)^{36} \approx 127\,023{,}71$. С капитализацией раз в год вышло бы $100\,000 \cdot 1{,}08^3 = 125\,971{,}20$, а без неё — $124\,000$.

Чем чаще капитализация, тем больше итог, но разница быстро перестаёт расти. Якоб Бернулли в 1683 году задался вопросом, что будет, если начислять проценты каждое мгновение, и получил предел: сумма растёт в $e^{rt}$ раз, где $e \approx 2{,}718$. Как из банковской задачи появилось число $e$, рассказано в главе о числе $e$. Для прикидок годится «правило 72»: при ставке $r$ % годовых вклад удваивается примерно за $72 / r$ лет. При 8 % — примерно за 9 лет, точный ответ — 9,006 года.

Годовая ставка при частой капитализации обманчиво скромна: 8 % с ежемесячным начислением дают за год $\left(1 + \frac{0{,}08}{12}\right)^{12} - 1 \approx 8{,}3\%$. Эту фактическую доходность называют эффективной ставкой; решатель показывает её рядом с ответом.

Кредит: аннуитетные и дифференцированные платежи

Каждый месяц долг сначала вырастает на проценты, потом уменьшается на ваш платёж. Банки гасят кредиты двумя способами.

Аннуитетные платежи — все платежи одинаковые. В начале срока долг большой, и почти весь платёж уходит на проценты; к концу проценты тают, и платёж в основном гасит долг. Размер платежа находят из условия, что после последнего платежа долг станет нулём.

Платёж, одинаковый каждый месяц (или каждый год).

Сумма кредита.

Ставка за один период: при ежемесячных платежах — годовая ставка, делённая на 12. При 12 % годовых $i = 0{,}01$.

Число платежей: 5 лет по месяцам — 60.

Пример: 1 000 000 под 12 % на 5 лет — $A = 1\,000\,000 \cdot \frac{0{,}01 \cdot 1{,}01^{60}}{1{,}01^{60} - 1} \approx 22\,244{,}45$ в месяц. Всего выплатите около 1 334 667 — переплата примерно 334 667.

Откуда формула. После первого месяца долг равен $P(1+i) - A$, после второго — $P(1+i)^2 - A(1+i) - A$, и так далее. Через $n$ месяцев начальная сумма вырастет в $(1+i)^n$ раз, а платежи сложатся в геометрическую прогрессию $A\,\frac{(1+i)^n - 1}{i}$. Приравниваем разность нулю — и выражаем $A$.

Дифференцированные платежи устроены проще: долг гасится равными частями $\frac{P}{n}$, и к каждой части прибавляются проценты на остаток долга. Первый платёж самый большой, дальше каждый меньше предыдущего на одну и ту же сумму $\frac{P}{n}\,i$. Проценты образуют арифметическую прогрессию, и переплата равна $P\,i\,\frac{n+1}{2}$. На том же кредите в миллион она составит $1\,000\,000 \cdot 0{,}01 \cdot \frac{61}{2} = 305\,000$ — на 30 тысяч меньше, чем при аннуитете: долг тает быстрее, и проценты начисляются на меньшие суммы. Платить за это приходится более тяжёлым началом: первый платёж — 26 666,67 вместо 22 244,45.

Банки обычно считают проценты по дням, а не как «ставка/12», и округляют по своим правилам, поэтому их график может отличаться от расчёта на копейки или рубли. Школьные и экзаменационные задачи считают именно так, как здесь.

Разобранные примеры

Пример 1. Цену подняли на 10 %, потом снизили на 10 %. Как она изменилась?

Каждое изменение — умножение: $1{,}1 \cdot 0{,}9 = 0{,}99$. От исходной цены осталось 99 %, то есть цена упала на 1 %. Если цена была 1000 рублей, после повышения она стала 1100, а 10 % от 1100 — это уже 110 рублей, поэтому после снижения получается 990.

Пример 2. После скидки 20 % куртка стоит 8000 рублей. Сколько она стоила до скидки?

Скидка 20 % — умножение на 0,8: $x \cdot 0{,}8 = 8000$, откуда $x = 8000 : 0{,}8 = 10\,000$. Проверка: 20 % от 10 000 — это 2000, и $10\,000 - 2000 = 8000$. Ответ 9600, который получается, если прибавить к 8000 двадцать процентов от 8000, неверен.

Пример 3. Вклад 100 000 рублей под 8 % годовых на 3 года с ежемесячной капитализацией

За месяц начисляется $\frac{8\%}{12} \approx 0{,}667\%$, множитель за месяц $q = 1 + \frac{0{,}08}{12}$, месяцев 36:

$$S = 100\,000 \cdot q^{36} \approx 127\,023{,}71.$$

Доход — 27 023,71. При простых процентах было бы $100\,000 \cdot (1 + 0{,}08 \cdot 3) = 124\,000$: капитализация принесла ещё около трёх тысяч.

Пример 4. Задача ЕГЭ: 9 930 000 рублей в кредит под 10 % годовых, погасить тремя равными ежегодными платежами

Раз в год долг умножается на $q = 1{,}1$, потом вносится платёж $x$. После трёх платежей долг должен стать нулём:

$$\bigl((9\,930\,000 \cdot 1{,}1 - x) \cdot 1{,}1 - x\bigr) \cdot 1{,}1 - x = 0.$$

Раскрываем скобки: $9\,930\,000 \cdot 1{,}331 = x\,(1{,}21 + 1{,}1 + 1) = 3{,}31\,x$, откуда $x = \frac{9\,930\,000 \cdot 1{,}331}{3{,}31} = 3000 \cdot 1331 = 3\,993\,000$. Всего банку уйдёт 11 979 000 рублей, переплата — 2 049 000.

Типичные ошибки

Берут процент не от того числа. «На сколько процентов 100 больше 80» — это $\frac{20}{80} = 25\%$: сравниваем с 80. А «на сколько процентов 80 меньше 100» — $\frac{20}{100} = 20\%$.
Складывают проценты цепочки. $+20\%$ и $-20\%$ дают $-4\%$, а не ноль; две надбавки по 10 % — 21 %, а не 20 %.
Прибавляют скидку обратно. Чтобы найти цену до скидки, делят на множитель, а не добавляют те же проценты к новой цене.
Путают процент и процентный пункт. Ставка выросла с 8 % до 10 % — это рост на 2 процентных пункта, но на 25 %.
Делят годовую ставку не на то. При ежемесячных платежах за месяц начисляется ставка, делённая на 12, а число периодов — срок в месяцах. Смешивать годы и месяцы в одной формуле нельзя.
Округляют в середине расчёта. $1{,}01^{60}$, округлённое до 1,8, даёт платёж 22 500 вместо 22 244 — ошибка в двести с лишним рублей каждый месяц. Округлять стоит только ответ.
Сравнивают кредиты по одному платежу. У аннуитета платёж меньше в начале, но переплата больше. Честно сравнивать по сумме всех платежей — решатель показывает обе схемы рядом.

Что ещё посмотреть

Дроби, общий знаменатель и то, почему процент — это просто сотая доля, разобраны в главе о дробях. Как частые начисления процентов приводят к числу $e$ и экспоненте — в главе «Число e и экспонента». Если нужно узнать, за сколько лет вклад вырастет вдвое, это уравнение $1{,}08^t = 2$ — его решит решатель показательных и логарифмических уравнений. Действия с обыкновенными дробями по шагам — в решателе дробей.