Решение систем линейных уравнений онлайн по шагам

Введите систему — решатель найдёт ответ подстановкой, сложением, по Крамеру или методом Гаусса, объяснит каждый шаг и нарисует прямые или плоскости.

Примеры: 2x + 3y = 7; x - y = 1 3x - 2y = 4; 5x + 3y = 13 методом Крамера x + y + z = 6; x - y + z = 2; 2x + y - z = 1 x + 2y = 3; 2x + 4y = 5 x + y + z = 1; x - y + 2z = 3 x + y = 5; xy = 6

Загружаем решатель…

Что можно ввести

Уравнения пишутся через точку с запятой или каждое с новой строки: 2x + 3y = 7; x - y = 1. Неизвестными решатель считает все буквы, какие встретит: x, y, z, a, b, а для больших систем удобны x1, x2, x3. Коэффициенты бывают целыми, дробными (x/2 + y/3 = 2) и десятичными (0,5x + 1,2y = 3); скобки раскрываются сами. Всего — до восьми уравнений и восьми неизвестных.

Способ решения выбирается кнопками под полем или словами в самой записи: «методом Крамера», «методом Гаусса», «подстановкой», «сложением». Если ничего не выбрать, решатель поступит, как поступил бы аккуратный школьник: систему 2 × 2 решит подстановкой, если при какой-то неизвестной стоит единица, иначе сложением, а систему побольше — методом Гаусса. Отдельно он умеет решать пару «линейное уравнение плюс нелинейное», например x + y = 5; xy = 6.

Четыре способа и когда какой брать

Подстановка

Из одного уравнения выражаем одну неизвестную через другую и подставляем это выражение во второе. Остаётся уравнение с одной неизвестной — его решать мы уже умеем. Найденное число подставляем обратно и получаем вторую неизвестную. Выражать удобнее ту букву, при которой стоит $1$ или $-1$: тогда не появляются дроби. В системе $2x + 3y = 7$, $x - y = 1$ так и просится $x = y + 1$.

Сложение

Если равны левые и правые части двух равенств, то равны и их суммы. Уравнения умножаем на такие числа, чтобы коэффициенты при одной неизвестной стали противоположными, и складываем: эта неизвестная исчезает. В системе $3x - 2y = 4$, $5x + 3y = 13$ первое уравнение умножаем на $3$, второе на $2$: получаем $9x - 6y = 12$ и $10x + 6y = 26$, после сложения — $19x = 38$, то есть $x = 2$. Способ хорош, когда ни при одной неизвестной нет единицы и подстановка потащила бы за собой дроби.

Правило Крамера

Ответ сразу пишется через определители. Габриэль Крамер опубликовал это правило в 1750 году, и для системы 2 × 2 или 3 × 3 оно самое короткое: посчитать три или четыре определителя и поделить. Но с ростом системы определителей становится много и каждый считать всё дороже, поэтому большие системы так не решают.

Главный определитель — из коэффициентов при неизвестных системы $a_1 x + b_1 y = c_1$, $a_2 x + b_2 y = c_2$. Если он равен нулю, правило не работает: делить на ноль нельзя.

Тот же определитель, только столбец коэффициентов при $x$ заменён столбцом правых частей: $\Delta_x = c_1 b_2 - c_2 b_1$.

Столбец коэффициентов при $y$ заменён правыми частями: $\Delta_y = a_1 c_2 - a_2 c_1$.

Пример: $3x - 2y = 4$, $5x + 3y = 13$. Здесь $\Delta = 3 \cdot 3 - 5 \cdot (-2) = 19$, $\Delta_x = 4 \cdot 3 - 13 \cdot (-2) = 38$, $\Delta_y = 3 \cdot 13 - 5 \cdot 4 = 19$. Значит, $x = 38 : 19 = 2$, $y = 19 : 19 = 1$. Проверка: $3 \cdot 2 - 2 \cdot 1 = 4$ и $5 \cdot 2 + 3 \cdot 1 = 13$.

Откуда формула, видно из способа сложения. Умножим первое уравнение на $b_2$, второе на $b_1$ и вычтем: $y$ пропадёт, а останется $(a_1 b_2 - a_2 b_1)x = c_1 b_2 - c_2 b_1$, то есть $\Delta \cdot x = \Delta_x$. Правило Крамера — это сложение, проделанное один раз в общем виде.

Метод Гаусса

Главный способ для всего, что больше 2 × 2. Коэффициенты и правые части выписываем в таблицу — расширенную матрицу. Со строками таблицы разрешены три действия: поменять две строки местами, умножить строку на число, не равное нулю, и прибавить к строке другую, умноженную на число. Это ровно те действия, которые можно делать с уравнениями, поэтому решения системы не меняются. Сначала обнуляем всё под диагональю — получается «лесенка», ступенчатый вид. Потом обнуляем и над ведущими элементами, и в последнем столбце читается ответ.

Метод называют именем Гаусса, который пользовался им в 1809 году, вычисляя орбиты небесных тел. Но табличный приём исключения неизвестных описан ещё в китайском трактате «Математика в девяти книгах», которому около двух тысяч лет. Компьютеры решают системы тоже им: для системы из $n$ уравнений нужно порядка $\frac{2}{3}n^3$ арифметических действий, а правило Крамера с честно посчитанными определителями требует несравнимо больше.

Почему ответов бывает один, ни одного или бесконечно много

Уравнение с двумя неизвестными задаёт прямую на плоскости, а решение системы — точку, общую для обеих прямых. Две прямые либо пересекаются в одной точке, либо параллельны, либо совпадают. Других вариантов нет, поэтому и у системы 2 × 2 бывает ровно одно решение, ни одного или бесконечно много. Картинка в решателе показывает, какой случай перед нами.

По коэффициентам это видно без чертежа. Если $\Delta \ne 0$, решение одно. Если $\Delta = 0$, прямые параллельны или совпадают: коэффициенты при неизвестных пропорциональны. Когда пропорциональны и правые части, одно уравнение получается из другого умножением на число, и решений бесконечно много. Когда нет — в ходе решения вылезает неверное равенство вида $0 = 5$, и решений нет.

С тремя неизвестными уравнение — это плоскость в пространстве. Три плоскости обычно пересекаются в одной точке, но могут пройти через общую прямую (тогда решений бесконечно много) или не иметь общей точки вовсе. В методе Гаусса эти случаи различает число ведущих элементов, ранг матрицы: если он равен числу неизвестных — решение единственное, если меньше — появляются свободные неизвестные, а строка вида $0 = b$ с $b \ne 0$ означает, что решений нет. Это теорема Кронекера — Капелли.

Разобранные примеры

Пример 1. Подстановкой: $2x + 3y = 7$, $x - y = 1$

Из второго уравнения $x = y + 1$. Подставляем в первое: $2(y + 1) + 3y = 7$, то есть $5y + 2 = 7$, $y = 1$. Тогда $x = 1 + 1 = 2$.

Проверка: $2 \cdot 2 + 3 \cdot 1 = 7$ и $2 - 1 = 1$. Ответ: $(2;\ 1)$. На картинке это точка пересечения прямых $y = \frac{7 - 2x}{3}$ и $y = x - 1$.

Пример 2. Методом Гаусса: $x + y + z = 6$, $x - y + z = 2$, $2x + y - z = 1$

Расширенная матрица и первые два шага — вычитаем первую строку из второй и удвоенную первую из третьей:

$$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 1 & -1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & -1 & 1 \end{array}\right) \to \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & -1 & -3 & -11 \end{array}\right).$$

Вторая строка говорит $-2y = -4$, то есть $y = 2$. Третья: $-y - 3z = -11$, откуда $3z = 9$, $z = 3$. Из первой: $x = 6 - 2 - 3 = 1$. Ответ: $(1;\ 2;\ 3)$. Проверка в третьем уравнении: $2 \cdot 1 + 2 - 3 = 1$.

Пример 3. Нет решений: $x + 2y = 3$, $2x + 4y = 5$

Умножим первое уравнение на $2$: $2x + 4y = 6$. Вычтем из второго: $0 = -1$. Такого не бывает ни при каких $x$ и $y$, значит, решений нет. Геометрически прямые $x + 2y = 3$ и $2x + 4y = 5$ параллельны: наклон у них один, а оси они пересекают в разных точках. Главный определитель $1 \cdot 4 - 2 \cdot 2 = 0$, поэтому по Крамеру эту систему не решить.

Пример 4. Бесконечно много решений: $x + y + z = 1$, $x - y + 2z = 3$

Уравнений два, неизвестных три, так что одну неизвестную придётся оставить свободной. Вычтем первое уравнение из второго: $-2y + z = 2$, откуда $y = \frac{z}{2} - 1$. Из первого $x = 1 - y - z = 2 - \frac{3z}{2}$. Обозначим $z = t$:

$$(x;\ y;\ z) = \left(2 - \tfrac{3t}{2};\ -1 + \tfrac{t}{2};\ t\right),\quad t \in \mathbb{R}.$$

При $t = 0$ получаем решение $(2;\ -1;\ 0)$, при $t = 2$ — $(-1;\ 0;\ 2)$; оба подходят в оба уравнения. Две плоскости пересекаются по прямой, и каждая её точка — решение.

Типичные ошибки

Теряют знак при переносе. Из $x - y = 1$ получается $x = y + 1$, а не $x = y - 1$. Слагаемое, перенесённое через знак равенства, меняет знак.
Подставляют в то же уравнение, из которого выражали. Получается тождество вроде $y + 1 - y = 1$, и кажется, что решений бесконечно много. Подставлять нужно в другое уравнение.
Умножают на число только левую часть. Если первое уравнение умножили на $3$, на $3$ умножается и правая часть.
В определителе путают диагонали. $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$: произведение главной диагонали минус произведение побочной, а не наоборот.
Делят на ноль в правиле Крамера. При $\Delta = 0$ формулы не работают, а вывод «решений нет» делать рано: их может быть и бесконечно много. Разбираться нужно методом Гаусса.
В методе Гаусса меняют местами столбцы. Переставлять можно строки. Перестановка столбцов меняет порядок неизвестных, и об этом легко забыть, когда читаешь ответ.
Не проверяют ответ. Подставить найденные числа в каждое уравнение — полминуты, и так ловится почти любая арифметическая ошибка. Решатель делает это всегда.

Что ещё посмотреть

Две прямые, фабрика с ограничениями на ресурсы и линейное программирование — в главе о системах уравнений и неравенствах. Метод Гаусса целиком, ранг, теорема Кронекера — Капелли и три плоскости в пространстве — в главе «Метод Гаусса». Определители, обратную матрицу и ранг считает решатель матриц, одно уравнение с одной неизвестной — решатель линейных уравнений, а если после подстановки получилось квадратное уравнение — решатель квадратных уравнений.