Решение неравенств методом интервалов онлайн по шагам

Линейные, квадратные, дробно-рациональные и двойные неравенства: решатель отметит точки на прямой, расставит знаки с учётом кратности, выберет промежутки и проверит ответ подстановкой.

Примеры: x^2 - 5x + 6 > 0 (x + 3)/(x - 2) >= 0 (x - 1)^2(x + 2) <= 0 2(x - 1) <= 5x + 4 -1 < 2x + 3 <= 5 x^2 + x + 1 < 0 1/x < 1

Загружаем решатель…

Что можно ввести

Неравенство с одним неизвестным, у которого обе части — многочлены или дроби из многочленов. Знаки: «меньше» и «больше», нестрогие ≤ и ≥ (их можно набрать двумя символами: сначала знак «меньше» или «больше», потом «равно») и «не равно» ≠. Примеры: x^2 - 5x + 6 > 0, (x + 3)/(x - 2) >= 0, 1/x < 1. Двойное неравенство пишется цепочкой: -1 < 2x + 3 <= 5.

Неравенства с модулем, корнем, логарифмом или показательной функцией решаются другими приёмами; решатель их пока не берёт и скажет об этом. Системы из нескольких неравенств тоже: решите каждое и возьмите общую часть ответов.

Линейные неравенства: одно отличие от уравнений

С неравенствами можно делать почти всё то же, что с уравнениями: раскрывать скобки, приводить подобные, переносить слагаемые с противоположным знаком, умножать и делить обе части на положительное число. Отличие одно, но важное: при умножении или делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный. Проверьте на числах: $2 < 3$, но после умножения на $-1$ получается $-2 > -3$.

Например, $2(x - 1) \le 5x + 4$. Раскрываем скобки и переносим: $2x - 5x \le 4 + 2$, то есть $-3x \le 6$. Делим на $-3$ и переворачиваем знак: $x \ge -2$. Ответ: $x \in [-2;\ +\infty)$. Квадратная скобка у $-2$ — потому что неравенство нестрогое и сама точка подходит; у бесконечности скобка всегда круглая.

Двойное неравенство $-1 < 2x + 3 \le 5$ решают сразу во всех трёх частях: вычитаем $3$, получаем $-4 < 2x \le 2$, делим на $2$: $-2 < x \le 1$.

Метод интервалов: шесть шагов

Для всего, что сложнее линейного, работает один способ.

Всё в одну часть. Справа оставляем ноль: $f(x) > 0$, $f(x) \le 0$ и так далее. Теперь важен только знак выражения.
Одна дробь. Если есть знаменатели, приводим к общему. Умножать обе части на знаменатель нельзя: его знак зависит от $x$.
Нули. Находим, где обращаются в ноль числитель и знаменатель, и раскладываем их на множители.
Точки на прямой. Нули числителя закрашиваем, если неравенство нестрогое, и выкалываем, если строгое. Нули знаменателя выкалываем всегда: там выражение не определено.
Знаки. На самом правом промежутке знак совпадает со знаком старшего коэффициента (для дроби — отношения старших коэффициентов). Двигаясь справа налево, меняем знак в каждой точке нечётной кратности и сохраняем в точках чётной кратности. Для надёжности знак любого промежутка можно проверить, подставив из него число.
Выбор. Берём промежутки с нужным знаком и добавляем закрашенные точки.

Почему знаки чередуются

Разложим выражение на множители. Каждый множитель вида $x - a$ отрицателен левее $a$ и положителен правее — знак он меняет только в своей точке. Знак произведения и частного — это произведение знаков множителей. Значит, между соседними отмеченными точками знак всего выражения не меняется, а при переходе через точку $a$ меняет знак только множитель $(x - a)^k$ — и то лишь если $k$ нечётно: чётная степень всегда неотрицательна.

Знак числа $c$ (отношение старших коэффициентов) — это знак $f$ при очень больших $x$, когда все скобки положительны. С него и начинают, с правого края.

Кратности. При переходе через точку знак меняется, если её кратность нечётна, и сохраняется, если чётна. Точка, которая одновременно нуль числителя и знаменателя, выколота, а кратности складываются.

Множители без действительных корней, например $x^2 + 1$ или $x^2 + x + 1$. Они всегда одного знака и на смену знаков не влияют.

Пример: $\frac{(x - 1)^2(x + 2)}{x - 3}$. Точки $-2$, $1$, $3$. Правее $3$ знак «$+$». Через $3$ (кратность 1) знак меняется: на $(1;\ 3)$ «$-$». Через $1$ (кратность 2) не меняется: на $(-2;\ 1)$ тоже «$-$». Через $-2$ меняется: левее $-2$ «$+$». Проверка числом $x = 0$: $\frac{1 \cdot 2}{-3} < 0$ — сходится.

Тот же ответ виден на графике $y = f(x)$: неравенство $f(x) > 0$ выполняется там, где график выше оси $Ox$, а $f(x) < 0$ — где ниже. Нули — точки, где график касается оси или пересекает её, нули знаменателя — вертикальные асимптоты. Решатель показывает и схему знаков, и график.

Разобранные примеры

Пример 1. Квадратное: $x^2 - 5x + 6 > 0$

Корни трёхчлена $2$ и $3$, то есть $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$. Точки выколоты: неравенство строгое. Правее $3$ знак «$+$» (старший коэффициент $1 > 0$), на $(2;\ 3)$ «$-$», левее $2$ «$+$». Нужен «$+$»: $x \in (-\infty;\ 2) \cup (3;\ +\infty)$. На графике — ветви параболы выше оси.

Пример 2. Дробное: $\frac{x + 3}{x - 2} \ge 0$

Нуль числителя $-3$ закрашен (неравенство нестрогое), нуль знаменателя $2$ выколот. Знаки справа налево: «$+$», «$-$», «$+$». Ответ: $x \in (-\infty;\ -3] \cup (2;\ +\infty)$. Точку $2$ в ответ не берут, хотя знак $\ge$: на ноль делить нельзя.

Пример 3. Точка чётной кратности: $(x - 1)^2(x + 2) \le 0$

Точки $-2$ и $1$, обе закрашены. Правее $1$ «$+$»; через $1$ (кратность 2) знак не меняется, на $(-2;\ 1)$ тоже «$+$»; через $-2$ меняется, левее «$-$». Нужен «$-$» или ноль: $x \in (-\infty;\ -2] \cup \{1\}$. Одинокую точку $\{1\}$ теряют чаще всего: промежутки вокруг неё не подходят, но в ней самой выражение равно нулю, и нестрогое неравенство выполняется.

Пример 4. Ловушка: $\frac{1}{x} < 1$

Соблазнительно умножить на $x$ и получить $1 < x$. Но при $x < 0$ знак пришлось бы перевернуть — и ответ $x > 1$ теряет все отрицательные числа, например $x = -5$: $-\frac15 < 1$. Правильно: $\frac{1}{x} - 1 < 0$, то есть $\frac{1 - x}{x} < 0$. Точки $0$ и $1$, обе выколоты; правее $1$ знак «$-$» (отношение старших коэффициентов $\frac{-1}{1}$), на $(0;\ 1)$ «$+$», левее $0$ «$-$». Ответ: $x \in (-\infty;\ 0) \cup (1;\ +\infty)$.

Типичные ошибки

Умножают на знаменатель. Как в примере 4: так теряется половина ответа. Сначала одна дробь, потом метод интервалов.
Забывают перевернуть знак при делении на отрицательное число: из $-3x \le 6$ получается $x \ge -2$, а не $x \le -2$.
Чередуют знаки вслепую. В точке чётной кратности знак не меняется: у $(x - 1)^2(x + 2)$ справа и слева от единицы знаки одинаковые.
Закрашивают нули знаменателя. При нестрогом неравенстве закрашивают только нули числителя; в нулях знаменателя выражения нет.
Теряют отдельные точки. $(x - 1)^2 \le 0$ имеет решение $x = 1$, а не «решений нет».
При $D < 0$ отвечают «решений нет» на любой вопрос. $x^2 + x + 1 < 0$ действительно не имеет решений, а $x^2 + x + 1 > 0$ выполняется при всех $x$: трёхчлен без корней с положительным старшим коэффициентом положителен везде.
Ставят квадратную скобку у бесконечности. $[3;\ +\infty)$, но никогда не $[3;\ +\infty]$: бесконечность — не число и в промежуток не входит.

Что ещё посмотреть

Неравенства, системы и линейное программирование — в главе «Системы уравнений и неравенства». Корни квадратного трёхчлена ищет решатель квадратных уравнений, корни многочленов высших степеней и их кратности — решатель уравнений высокой степени; если знак неравенства заменить на «$=$», пригодится и решатель линейных уравнений. Как выглядит парабола и где она выше оси — в главе о квадратных уравнениях.