Калькулятор дробей с решением по шагам

Сложение, вычитание, умножение и деление обыкновенных дробей, смешанные числа, скобки и степени, сокращение, сравнение и перевод в десятичные — с объяснением каждого шага.

Примеры: 1/2 + 1/3 3/4 - 5/6 2 1/3 · 1 1/2 5/6 : 10/9 (1/2 + 1/3) · 6/5 - 1/4 сократить 42/56 0,1(6) сравнить 3/4 и 5/7

Загружаем решатель…

Как записать пример

Дробь пишется через косую черту: $\frac{3}{4}$ — это 3/4. Смешанное число — целая часть, пробел и дробь: $2\tfrac{1}{3}$ — это 2 1/3. Десятичные дроби — через запятую или точку, 0,25; период — в скобках, 0,1(6). Умножение — точка, звёздочка или крестик, деление — двоеточие или ÷. Скобки и степени ((2/3)^2) тоже можно.

Одно правило стоит запомнить: косая черта между двумя числами — это одна дробь. Поэтому 1/2 : 3/4 решатель читает как $\frac12 : \frac34$, как в тетради, а не как «один делить на два, делить на три, делить на четыре». Под полем ввода всегда видно, как понята запись: если что-то не так, это сразу заметно.

Кроме вычислений, решатель умеет сокращать дробь (сократить 42/56), переводить десятичную дробь в обыкновенную (0,375, 0,(3)), сравнивать (сравнить 3/4 и 5/7) и упорядочивать несколько дробей (упорядочить 1/2, 2/3, 3/5).

Как считать: четыре правила и порядок действий

Решение любого примера с дробями складывается из нескольких правил. Решатель применяет их в том же порядке, в каком это делают в тетради.

Смешанные числа — в неправильные дроби. $2\tfrac13 = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac73$: две целых — это шесть третей, и ещё одна.
Десятичные дроби — в обыкновенные. $0{,}25 = \frac{25}{100} = \frac14$. С обыкновенными дробями ответ получается точным, без округлений.
Порядок действий: сначала скобки, потом степени, затем умножение и деление, в конце сложение и вычитание; действия одного ранга — слева направо.
Сложение и вычитание — через общий знаменатель. Умножение — числитель на числитель, знаменатель на знаменатель. Деление — умножение на перевёрнутую дробь.
Ответ сокращаем, а неправильную дробь при желании превращаем обратно в смешанное число.

Больше всего работы с общим знаменателем. Годится любое общее кратное знаменателей, но удобнее всего наименьшее, то есть их НОК: числа меньше, и в конце почти нечего сокращать. НОК двух знаменателей быстро находится через НОД, а НОД — алгоритмом Евклида; если нужно посчитать их отдельно, для этого есть решатель НОД и НОК.

Почему правила именно такие

Дробь $\frac{a}{b}$ — это $a$ долей, каждая размером $\frac1b$. Складывать можно только доли одного размера: две трети и одна треть дают три трети, а «одна половина плюс одна треть» — пока ещё не ответ, а вопрос. Поэтому обе дроби режем на доли помельче, одинаковые для обеих. Если половину разрезать на три части, а треть — на две, получатся шестые доли: $\frac12 = \frac36$, $\frac13 = \frac26$, и теперь их можно просто сосчитать.

Общий знаменатель $N = \text{НОК}(b, d)$ — наименьшее число, которое делится на оба знаменателя. Меньше взять нельзя: на такие доли одну из дробей уже не разрезать поровну.

Дополнительный множитель первой дроби $k_1 = N : b$ — на сколько частей режем каждую её долю. Числитель и знаменатель умножаем на него, и дробь от этого не меняется.

Дополнительный множитель второй дроби $k_2 = N : d$ — то же самое для неё.

Пример: $\frac{5}{12} + \frac{7}{18}$. НОК$(12, 18) = 36$, множители $36 : 12 = 3$ и $36 : 18 = 2$, поэтому сумма равна $\frac{5 \cdot 3 + 7 \cdot 2}{36} = \frac{15 + 14}{36} = \frac{29}{36}$. Если взять знаменатель $12 \cdot 18 = 216$, ответ выйдет тот же, $\frac{174}{216}$, но его ещё придётся сокращать на $6$.

С умножением картинка другая. Взять $\frac23$ от $\frac34$ — значит разрезать $\frac34$ на три равные части и взять две из них. На рисунке это прямоугольник: квадрат делим на $3$ столбца и $4$ строки, закрашиваем $2$ столбца и $3$ строки. Их пересечение — $2 \cdot 3 = 6$ клеток из $3 \cdot 4 = 12$, то есть $\frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 4} = \frac{6}{12} = \frac12$. Отсюда правило «числитель на числитель, знаменатель на знаменатель». Сокращать удобно до умножения, крест-накрест: в $\frac23 \cdot \frac34$ тройки сокращаются сразу, и остаётся $\frac{2}{4} = \frac12$.

Перевёрнутая дробь — обратное число: $\frac{c}{d} \cdot \frac{d}{c} = 1$. Разделить — значит найти число, которое после умножения на делитель вернёт делимое. Умножение на $\frac{d}{c}$ именно это и даёт: $\left(\frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}\right) \cdot \frac{c}{d} = \frac{a}{b}$.

Пример: $\frac56 : \frac{10}{9} = \frac56 \cdot \frac{9}{10} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 2} = \frac34$: пятёрка с десяткой сокращаются на $5$, шестёрка с девяткой на $3$. Правило работает, только если $c \ne 0$: на ноль не делят, и перевернуть $\frac{0}{d}$ невозможно.

Подробно, с лентами и пирогами, всё это разобрано в главе о дробях. Там же — почему деление «переворачивает» дробь, если смотреть на него как на вопрос «сколько раз делитель помещается в делимом».

Разобранные примеры

Пример 1. Разные знаменатели

$\frac34 - \frac56$. Знаменатели $4$ и $6$, их НОК — $12$ (не $24$: двенадцать уже делится на оба). Дополнительные множители: $12 : 4 = 3$, $12 : 6 = 2$.

$$\frac34 - \frac56 = \frac{9}{12} - \frac{10}{12} = \frac{9 - 10}{12} = -\frac{1}{12}.$$

Ответ отрицательный, и это нормально: $\frac56$ больше $\frac34$ на одну двенадцатую. Проверка сложением: $-\frac1{12} + \frac56 = -\frac1{12} + \frac{10}{12} = \frac9{12} = \frac34$.

Пример 2. Смешанные числа

$2\tfrac13 \cdot 1\tfrac12$. Сначала переводим в неправильные дроби: $2\tfrac13 = \frac73$, $1\tfrac12 = \frac32$. Перемножать целые и дробные части по отдельности нельзя (это частая ошибка, о ней ниже).

$$\frac73 \cdot \frac32 = \frac{7 \cdot 3}{3 \cdot 2} = \frac72 = 3\tfrac12.$$

Тройки сократились до умножения. Прикидка: ответ должен быть чуть больше, чем $2 \cdot 1{,}5 = 3$. Так и есть.

Пример 3. Порядок действий

$\left(\frac12 + \frac13\right) \cdot \frac65 - \frac14$. Действий три: скобка, умножение, вычитание.

$$\frac12 + \frac13 = \frac36 + \frac26 = \frac56,\qquad \frac56 \cdot \frac65 = 1,\qquad 1 - \frac14 = \frac34.$$

Если сначала вычесть $\frac14$ из $\frac65$, выйдет совсем другое число: умножение выполняют раньше вычитания.

Пример 4. Периодическая дробь

$0{,}1(6) + \frac13$. Переведём $0{,}1(6)$ в обыкновенную дробь. Обозначим её $x$ и сдвинем запятую так, чтобы после неё стоял один и тот же бесконечный хвост: $100x = 16{,}(6)$ и $10x = 1{,}(6)$. Вычитаем: $90x = 15$, то есть $x = \frac{15}{90} = \frac16$.

$$\frac16 + \frac13 = \frac16 + \frac26 = \frac36 = \frac12 = 0{,}5.$$

Дроби и десятичная запись

Каждый ответ решатель показывает ещё и десятичной дробью. Иногда она конечная ($\frac38 = 0{,}375$), иногда бесконечная ($\frac16 = 0{,}1666\ldots$). Какая получится, видно по знаменателю несократимой дроби. Если в его разложении на простые множители только двойки и пятёрки, деление столбиком закончится; если есть другие простые, цифры пойдут по кругу. Разных остатков при делении на $q$ всего $q$, поэтому рано или поздно какой-то остаток повторится, а за ним и цифры.

Период — повторяющиеся цифры, прочитанные как обычное число.

Столько девяток, сколько цифр в периоде. Это $10^k - 1$: сдвинули запятую на длину периода и вычли исходное число.

Пример: $0{,}(142857) = \frac{142857}{999999} = \frac17$. Если перед периодом есть цифры, как в $0{,}1(6)$, к девяткам дописывают столько нулей, сколько цифр до периода, а из числа «до конца периода» вычитают число «до периода»: $\frac{16 - 1}{90}$.

Отсюда же знаменитое $0{,}(9) = \frac99 = 1$: это не «почти единица», а другая запись самой единицы.

Типичные ошибки

Складывают знаменатели. $\frac12 + \frac13 \ne \frac25$ — хотя бы потому, что $\frac25$ меньше $\frac12$, а мы к половине что-то прибавили. Знаменатель — размер доли, при сложении он не складывается.
Ищут общий знаменатель при умножении. Ошибкой это не будет, но работы втрое больше. Для умножения и деления общий знаменатель не нужен.
Перемножают смешанные числа по частям. $2\tfrac13 \cdot 1\tfrac12 \ne 2 \cdot 1 + \frac13 \cdot \frac12$: по распределительному закону каждую часть пришлось бы умножить на каждую. Надёжнее переводить в неправильные дроби.
Переворачивают не ту дробь. При делении переворачивают делитель, то есть вторую дробь.
Сокращают слагаемые. В $\frac{2 + 3}{2}$ двойки сокращать нельзя. Сокращают только множители: числитель и знаменатель делят на одно и то же число целиком.
Теряют минус. $\frac34 - \left(-\frac14\right) = \frac34 + \frac14 = 1$: вычесть отрицательное число — значит прибавить.
Не сокращают ответ. $\frac{6}{12}$ — верно, но не до конца. В ответе дробь должна быть несократимой; решатель всегда показывает, на что сокращал.

Что ещё посмотреть

Откуда берутся дроби, почему десятичная запись дроби всегда либо конечна, либо периодична и как устроено дерево Штерна — Броко, где каждая дробь встречается ровно один раз, — в главе «Дроби». Общий знаменатель — это НОК, а сокращение — деление на НОД; оба разобраны в главе о делимости и в решателе НОД и НОК. Разложить знаменатель на простые множители поможет решатель разложения, а задачи на доли и проценты — решатель процентов.