Производная онлайн: решение по шагам с объяснением

Введите функцию — решатель найдёт производную по тем же правилам, что и на бумаге, объяснит каждый шаг, упростит ответ, проверит его численно и покажет касательную, которую можно водить по графику.

Примеры: x^2 sin x (x^2 + 1)/(x - 1) ln(cos x) x^x e^(-x^2) f(x) = x^3 - 3x, f'(2) (sin 2x)'' касательная к y = x^2 в точке x = 1

Загружаем решатель…

Что можно ввести

Функцию пишут так же, как в тетради: x^2 sin x, e^(-x^2), ln(cos x), (x+1)/(x-1). Знак умножения между числом и буквой можно не ставить, корень — sqrt(x) или √x, модуль — |x| или abs(x), тангенс — tg x или tan x. Можно начать с «f(x) =» или «y =», можно дописать слова «найти производную» — решатель их пропустит.

Чтобы получить вторую или третью производную, поставьте штрихи: (sin 2x)'', или напишите словами: «вторая производная x^3 ln x», «производная 5-го порядка e^(2x)». Значение в точке — через запятую: f(x) = x^3 - 3x, f'(2) или «… в точке x = 2». Уравнение касательной: «касательная к y = x^2 в точке x = 1», нормали — «нормаль к y = √x при x = 4». Если в функции есть другие буквы, решатель считает их постоянными; «по y» или d/dy делает производную частной.

Как находить производную

Производную почти никогда не считают по определению. Её собирают из трёх вещей: таблицы производных простых функций, правил для суммы, произведения и частного и цепного правила для сложных функций. Работают сверху вниз, от последнего действия к первому.

1. Найдите последнее действие. В $x^2 \sin x$ последним выполняется умножение — значит, нужно правило произведения. В $\ln(\cos x)$ последним берётся логарифм от чего-то — это сложная функция. В $\frac{x^2 + 1}{x - 1}$ — деление.

2. Примените нужное правило.

Сумма: $(u + v)' = u' + v'$, постоянный множитель выносится: $(c\,u)' = c\,u'$.
Произведение: $(uv)' = u'v + uv'$.
Частное: $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$.
Сложная функция: $\bigl(f(g(x))\bigr)' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ — производная внешней функции, в которую подставлена внутренняя, умножить на производную внутренней.

3. Спуститесь на уровень ниже. После правила остаются производные кусков: $u'$, $v'$, $g'$. С каждым куском поступаем так же, пока не дойдём до табличных функций.

4. Упростите и проверьте. Раскройте скобки, приведите к общему знаменателю, сократите. Проверить ответ проще всего численно: наклон секущей через две близкие точки графика должен почти совпадать со значением производной. Решатель так и делает — в трёх точках.

Функция	Производная
$x^n$	$n x^{n-1}$
$\sqrt{x}$	$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^x \ln a$
$\ln x$	$\dfrac{1}{x}$
$\log_a x$	$\dfrac{1}{x \ln a}$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
$\operatorname{tg} x$	$\dfrac{1}{\cos^2 x}$
$\operatorname{ctg} x$	$-\dfrac{1}{\sin^2 x}$
$\arcsin x$	$\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$
$\operatorname{arctg} x$	$\dfrac{1}{1 + x^2}$

Почему это работает

Производная — это наклон графика в точке. Возьмём на графике две точки, с абсциссами $x$ и $x + h$, и проведём через них прямую — секущую. Её наклон равен отношению приращений, а когда вторая точка подползает к первой, секущая превращается в касательную:

Шаг по оси абсцисс: насколько сдвинулись вправо. Он стремится к нулю, но нулём не становится — иначе делить было бы не на что.

Приращение функции: насколько за этот шаг поднялся или опустился график.

Пример: $f(x) = x^2$ в точке $x = 3$. При $h = 0{,}01$ получаем $\frac{3{,}01^2 - 9}{0{,}01} = \frac{0{,}0601}{0{,}01} = 6{,}01$, при $h = 0{,}001$ — уже $6{,}001$. Отношение приближается к $6 = 2 \cdot 3$, как и обещает формула $(x^2)' = 2x$.

Все правила выводятся из этого определения. Правило произведения становится очевидным, если представить $u \cdot v$ площадью прямоугольника со сторонами $u$ и $v$. Когда $x$ немного меняется, стороны вырастают на $\Delta u$ и $\Delta v$, а площадь — на две полоски $u\,\Delta v$ и $v\,\Delta u$ плюс крошечный уголок $\Delta u\,\Delta v$. После деления на $h$ полоски дают $uv' + u'v$, а уголок, будучи произведением двух малых величин, исчезает в пределе.

Цепное правило — это передаточные числа. Если $g$ растягивает маленькие отрезки около $x$ в $g'(x)$ раз, а $f$ растягивает отрезки около $g(x)$ в $f'(g(x))$ раз, то вместе они растягивают в произведение этих чисел раз, как две пары шестерёнок. Именно поэтому в $(\sin 3x)' = 3\cos 3x$ появляется тройка: внутренняя функция $3x$ сама меняется втрое быстрее $x$.

Разобранные примеры

Пример 1. Произведение: $y = x^2 \sin x$

Последнее действие — умножение, $u = x^2$, $v = \sin x$. Табличные производные: $u' = 2x$, $v' = \cos x$. По правилу произведения

$$y' = 2x \cdot \sin x + x^2 \cdot \cos x = 2x \sin x + x^2 \cos x.$$

Проверка в точке $x = 1$: по формуле $2 \sin 1 + \cos 1 \approx 1{,}6829 + 0{,}5403 = 2{,}2232$, и наклон секущей через $x = 0{,}999$ и $x = 1{,}001$ тоже равен $2{,}2232$ с точностью до четвёртого знака.

Пример 2. Частное: $y = \dfrac{x^2 + 1}{x - 1}$

Числитель $u = x^2 + 1$, $u' = 2x$; знаменатель $v = x - 1$, $v' = 1$. По правилу частного

$$y' = \frac{2x(x - 1) - (x^2 + 1) \cdot 1}{(x - 1)^2} = \frac{2x^2 - 2x - x^2 - 1}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x - 1)^2}.$$

Знаменатель не раскрывают: в таком виде видно, что производная не существует только при $x = 1$, где не определена и сама функция. Числитель обращается в ноль при $x = 1 \pm \sqrt2$ — там касательная горизонтальна, это точки экстремума.

Пример 3. Сложная функция: $y = \ln(\cos x)$

Внешняя функция — логарифм, внутренняя — $u = \cos x$. Производная логарифма $\frac{1}{u}$, производная внутренней $-\sin x$, их произведение:

$$y' = \frac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x) = -\operatorname{tg} x.$$

Частая ошибка — написать $\frac{1}{\cos x}$ и остановиться. Множитель $-\sin x$ — это и есть «производная внутренней функции» из цепного правила.

Пример 4. Переменная и в основании, и в показателе: $y = x^x$

Здесь не подходит ни правило степени (показатель не постоянный), ни правило показательной функции (основание не постоянное). Выручает логарифм: $x^x = e^{x \ln x}$, и по цепному правилу

$$y' = e^{x \ln x} \cdot (x \ln x)' = x^x \left(\ln x + x \cdot \frac{1}{x}\right) = x^x (\ln x + 1).$$

Этот приём называют логарифмическим дифференцированием. Он пригодится и для $(\sin x)^{\cos x}$, и для громоздких произведений, где логарифм превращает умножение в сложение.

Значение в точке и касательная

Чтобы найти $f'(2)$, сначала находят производную как функцию, а потом подставляют число. Порядок важен: если подставить двойку в $f$ заранее, получится число, а производная числа равна нулю. Для $f(x) = x^3 - 3x$ получаем $f'(x) = 3x^2 - 3$ и $f'(2) = 3 \cdot 4 - 3 = 9$.

Значение производной — угловой коэффициент касательной, поэтому уравнение касательной в точке $x_0$ записывается сразу:

$$y = f(x_0) + f'(x_0)\,(x - x_0).$$

Для $y = x^2$ в точке $x_0 = 1$: $f(1) = 1$, $f'(x) = 2x$, $f'(1) = 2$, и касательная $y = 1 + 2(x - 1) = 2x - 1$. Нормаль перпендикулярна касательной, её угловой коэффициент $-\frac{1}{f'(x_0)}$; если касательная горизонтальна, нормаль вертикальна: $x = x_0$.

Бывает, что функция в точке есть, а производной нет. У $y = |x|$ в нуле излом: слева наклон $-1$, справа $1$, и одной касательной нет. У $y = \sqrt[3]{x}$ в нуле касательная вертикальна, производная бесконечна. Решатель находит такие точки и пишет о них под ответом.

Типичные ошибки

Производная произведения как произведение производных. $(x^2 \sin x)' \ne 2x \cos x$. Правильно $u'v + uv'$: в каждом слагаемом дифференцируется только один множитель.
Забытая производная внутренней функции. $(\sin 3x)' = 3\cos 3x$, а не $\cos 3x$; $(e^{-x^2})' = -2x\,e^{-x^2}$, а не $e^{-x^2}$.
Перепутанный порядок в числителе частного. Сначала $u'v$, потом минус $uv'$. Если поменять их местами, знак ответа перевернётся.
Правило степени там, где переменная в показателе. $(2^x)' = 2^x \ln 2$, а не $x \cdot 2^{x - 1}$; для $x^x$ не подходит ни одно правило целиком.
Производная константы. $(e^2)' = 0$ и $(\ln 5)' = 0$: это числа, хоть и записанные буквами. А вот $(\pi^x)' = \pi^x \ln \pi$ и $(x^\pi)' = \pi x^{\pi - 1}$.
Число подставлено раньше времени. $f'(2)$ — значение производной в точке, а не производная от $f(2)$.
Производную «находят» там, где её нет. Формула $(\sqrt x)' = \frac{1}{2\sqrt x}$ верна только при $x > 0$; в нуле функция определена, а производная — нет.

Что ещё посмотреть

Откуда берутся правила, как секущая превращается в касательную и почему производная синуса — косинус, рассказывает глава «Производная»: там есть растущий прямоугольник для правила произведения, коробка передач для цепного правила и производная неявной функции. Сама производная определяется через предел — о нём глава «Пределы» и решатель пределов. Где функция растёт, где у неё максимум и как выглядит её график, покажет полное исследование функции; обратная задача — найти функцию по её производной — это интеграл. Руку можно набить в тренажёре производных.