Калькулятор комплексных чисел с решением

Сложение, умножение, деление и степени комплексных чисел по шагам, модуль и аргумент, тригонометрическая и показательная формы, корни n-й степени и уравнения — с картинкой на комплексной плоскости.

Примеры: (1 + 2i)(3 - i) (3 + 4i)/(1 - 2i) -1 + i sqrt(3) (1 + i)^10 i^2023 корни 3 степени из 8i z^2 + 2z + 5 = 0 z^2 - (3 + 2i)z + 5 + i = 0

Загружаем решатель…

Что можно ввести

Мнимая единица — буква i. Решатель понимает четыре вида задач.

Выражение: (1 + 2i)(3 - i), (3 + 4i)/(1 - 2i), i^2023, (1 + i)^10, sqrt(-4), |3 + 4i|, 2e^(i*pi/4). Каждое действие он распишет отдельно.
Одно число: -1 + i sqrt(3) или 2(cos(pi/3) + i sin(pi/3)) — найдёт модуль, аргумент и запишет число во всех трёх формах: алгебраической, тригонометрической и показательной.
Корни: корни 3 степени из 8i, кубические корни из -8 или уравнение z^4 = -16 — выпишет все корни и нарисует многоугольник.
Уравнение относительно $z$: линейное, квадратное (в том числе с комплексными коэффициентами), двучленное $z^n = w$ и сводящиеся к квадратным заменой, например $z^4 + 3z^2 - 4 = 0$.

Алгебраическая форма и четыре действия

Комплексное число $z = a + bi$ складывается из действительной части $a$ и мнимой части $b$, а про $i$ известно одно: $i^2 = -1$. Больше ничего и не нужно — с такими числами обращаются как с двучленами.

Сложение и вычитание — по частям: $(1 + 2i) + (3 - i) = 4 + i$. Умножение — раскрываем скобки и заменяем $i^2$ на $-1$: $(1 + 2i)(3 - i) = 3 - i + 6i - 2i^2 = 5 + 5i$. Степени $i$ повторяются через четыре: $i$, $-1$, $-i$, $1$, снова $i$. Поэтому $i^{2023} = i^{4 \cdot 505 + 3} = i^3 = -i$.

Деление устроено хитрее. Числитель и знаменатель умножаем на число, сопряжённое знаменателю, — с противоположным знаком мнимой части. Произведение числа на сопряжённое всегда действительное: $(c + di)(c - di) = c^2 + d^2$, и $i$ из знаменателя уходит — так же, как уходит корень, когда избавляются от иррациональности.

Сопряжённое к знаменателю. Умножаем на него и числитель, и знаменатель — дробь от этого не меняется.

Действительное число, квадрат модуля знаменателя. Делить на него можно по частям. Оно не равно нулю, если знаменатель не ноль.

Пример: $\frac{3 + 4i}{1 - 2i} = \frac{(3 + 4i)(1 + 2i)}{1^2 + 2^2} = \frac{3 + 6i + 4i + 8i^2}{5} = \frac{-5 + 10i}{5} = -1 + 2i$. Проверка умножением: $(-1 + 2i)(1 - 2i) = -1 + 2i + 2i - 4i^2 = 3 + 4i$.

Сопряжённое число $\bar z = a - bi$ — зеркальное отражение $z$ относительно действительной оси. У него тот же модуль, а аргумент с обратным знаком, и $z \cdot \bar z = a^2 + b^2 = |z|^2$. Этим и объясняется трюк с делением. Ещё одно полезное свойство: если у многочлена с действительными коэффициентами есть комплексный корень, то сопряжённое число тоже его корень, поэтому невещественные корни таких уравнений всегда идут парами.

Модуль, аргумент и тригонометрическая форма

Число $a + bi$ — точка $(a;\ b)$ на плоскости, или стрелка из начала координат в эту точку. Так их первыми стали рисовать Каспар Вессель (1799) и Жан-Робер Арган (1806). Длина стрелки — модуль $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$, угол от положительного направления действительной оси — аргумент $\varphi$. По ним число восстанавливается: $a = r\cos\varphi$, $b = r\sin\varphi$.

Аргумент ищут по тангенсу, $\operatorname{tg}\varphi = \frac{b}{a}$, но одного арктангенса мало: он даёт углы только от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$, то есть точки правой полуплоскости. Для второй четверти к нему прибавляют $\pi$, для третьей вычитают. Число $-1 + i\sqrt{3}$ лежит во второй четверти: $r = \sqrt{1 + 3} = 2$, $\operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$, и $\varphi = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Главное, ради чего нужна эта форма: при умножении модули перемножаются, а аргументы складываются. Умножить на комплексное число — значит повернуть и растянуть. Умножение на $i$ — поворот на прямой угол, и дважды повернуть на $90^\circ$ — значит развернуться: $i^2 = -1$. Отсюда формула Муавра для степени и формула корней.

Модуль каждого корня — обычный арифметический корень из модуля $r = |w|$.

Аргумент $w$ определён с точностью до полного оборота. Пока углы не поделены на $n$, это одна и та же точка; после деления получаются разные.

Ровно $n$ разных корней: при $k = n$ всё повторяется. На плоскости они — вершины правильного $n$-угольника.

Пример: $\sqrt[3]{8i}$. Здесь $8i = 8\left(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\right)$, $\sqrt[3]{8} = 2$, углы $\frac{\pi}{6}$, $\frac{5\pi}{6}$, $\frac{3\pi}{2}$. Корни: $\sqrt{3} + i$, $-\sqrt{3} + i$, $-2i$. Проверка: $(-2i)^3 = -8i^3 = 8i$.

По формуле Эйлера $\cos\varphi + i\sin\varphi = e^{i\varphi}$, поэтому та же запись становится совсем короткой: $z = re^{i\varphi}$ — это показательная форма.

Разобранные примеры

Пример 1. Большая степень: $(1 + i)^{10}$

Перемножать десять скобок долго, а в тригонометрической форме это одна строка. $|1 + i| = \sqrt{2}$, аргумент $\frac{\pi}{4}$, значит, $1 + i = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right)$. По формуле Муавра

$$(1 + i)^{10} = (\sqrt{2})^{10}\left(\cos\frac{10\pi}{4} + i\sin\frac{10\pi}{4}\right) = 32\left(\cos\frac{5\pi}{2} + i\sin\frac{5\pi}{2}\right) = 32i.$$

Угол $\frac{5\pi}{2}$ — это $\frac{\pi}{2}$ плюс полный оборот, поэтому косинус равен $0$, синус $1$. Проверка по-другому: $(1 + i)^2 = 2i$, а $(2i)^5 = 32i^5 = 32i$.

Пример 2. Квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом: $z^2 + 2z + 5 = 0$

$D = 4 - 20 = -16$. Действительных корней нет, но $\sqrt{-16} = 4i$, и формула работает как обычно: $z = \frac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i$. Корни сопряжены — так бывает всегда, когда коэффициенты действительные. Проверка по Виету: сумма $-2 = -\frac{b}{a}$, произведение $(-1)^2 + 2^2 = 5 = \frac{c}{a}$.

Пример 3. Комплексные коэффициенты: $z^2 - (3 + 2i)z + 5 + i = 0$

$D = (3 + 2i)^2 - 4(5 + i) = 9 + 12i - 4 - 20 - 4i = -15 + 8i$. Корень ищем в виде $a + bi$: $a^2 - b^2 = -15$ и $2ab = 8$, а ещё $a^2 + b^2 = |D| = \sqrt{225 + 64} = 17$. Складывая и вычитая, получаем $a^2 = 1$, $b^2 = 16$, и с учётом знака $2ab$: $\sqrt{D} = 1 + 4i$.

Тогда $z = \frac{3 + 2i \pm (1 + 4i)}{2}$: $z_1 = 2 + 3i$, $z_2 = 1 - i$. Проверка по Виету: $z_1 + z_2 = 3 + 2i$, $z_1 z_2 = 2 - 2i + 3i - 3i^2 = 5 + i$.

Пример 4. Двучленное уравнение: $z^4 = -16$

Нужно найти все корни четвёртой степени из $-16$. В тригонометрической форме $-16 = 16(\cos\pi + i\sin\pi)$: модуль $16$, аргумент $\pi$. Модуль каждого корня $\sqrt[4]{16} = 2$, углы $\frac{\pi + 2\pi k}{4}$ при $k = 0, 1, 2, 3$, то есть $\frac{\pi}{4}$, $\frac{3\pi}{4}$, $\frac{5\pi}{4}$, $\frac{7\pi}{4}$.

Корни: $\sqrt{2} + i\sqrt{2}$, $-\sqrt{2} + i\sqrt{2}$, $-\sqrt{2} - i\sqrt{2}$, $\sqrt{2} - i\sqrt{2}$ — вершины квадрата со стороной $2\sqrt{2}$. Проверка первого: $(\sqrt{2} + i\sqrt{2})^2 = 2 + 4i - 2 = 4i$, а $(4i)^2 = -16$.

Зачем всё это

Комплексные числа появились не из любопытства. В XVI веке формула Кардано для кубических уравнений иногда требовала извлечь корень из отрицательного числа даже тогда, когда все три корня действительные. Рафаэль Бомбелли в 1572 году решился считать с такими «невозможными» выражениями по обычным правилам и получил верный ответ. Потом выяснилось, что в этой системе чисел у любого многочлена степени $n$ ровно $n$ корней с учётом кратности — это основная теорема алгебры. Действительных чисел для этого не хватает: у $x^2 + 1 = 0$ их нет, а комплексных — два, $\pm i$.

Сегодня умножение на $e^{i\varphi}$ как поворот работает везде, где что-то вращается или колеблется: в расчётах переменного тока, в обработке сигналов, в квантовой механике. Формула $e^{i\pi} + 1 = 0$, связывающая пять главных чисел математики, — частный случай формулы Эйлера, которой пользуется и этот решатель.

Типичные ошибки

Забывают, что $i^2 = -1$, и пишут $(a + bi)^2 = a^2 + b^2$. На самом деле $(a + bi)^2 = a^2 - b^2 + 2abi$.
Умножают на сопряжённое только числитель. Дробь при этом меняется; умножать нужно и числитель, и знаменатель.
Берут аргумент как голый арктангенс. У $-1 - i$ арктангенс отношения равен $\frac{\pi}{4}$, но точка в третьей четверти, и аргумент $-\frac{3\pi}{4}$.
Переносят правила для корней на отрицательные числа. $\sqrt{-4}\cdot\sqrt{-9} = 2i \cdot 3i = -6$, а не $\sqrt{36} = 6$: равенство $\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}$ верно только для неотрицательных $a$ и $b$.
Находят один корень вместо $n$. У любого ненулевого числа ровно $n$ корней $n$-й степени; у $1$ три кубических корня, а не один.
Пытаются сравнивать комплексные числа. Писать $2 + i > 1$ бессмысленно: на плоскости нет «больше» и «меньше». Сравнивают модули.

Что ещё посмотреть

Как «невозможные» числа появились в формуле Кардано, почему умножение — это поворот и чем закончилась история Бомбелли с $\sqrt[3]{2 + 11i} = 2 + i$ — в главе о комплексных числах. Квадратные уравнения с отрицательным дискриминантом по шагам разбирает решатель квадратных уравнений, многочлены высших степеней — решатель уравнений высших степеней, а тригонометрию, на которой держатся тригонометрическая форма и формула Муавра, — решатель тригонометрических уравнений.