Избыток и недостача углов
На сфере сумма углов треугольника больше 180°, на плоскости Лобачевского — меньше. Найдите площадь треугольника или многоугольника по его углам.
Как решать
На плоскости сумма углов треугольника всегда $180^\circ$. На сфере она больше, и избыток — это площадь треугольника, делённая на $R^2$. На плоскости Лобачевского сумма меньше, и площадь задаёт недостача. Чем больше фигура, тем сильнее отличие от плоскости.
По шагам
- Сложите углы и переведите сумму в радианы ($180^\circ = \pi$).
- Сфера: избыток $\varepsilon = (\alpha + \beta + \gamma) - \pi$. Для $n$-угольника — сумма углов минус $(n - 2)\pi$.
- Плоскость Лобачевского: недостача $\delta = \pi - (\alpha + \beta + \gamma)$, для $n$-угольника $(n - 2)\pi$ минус сумма углов.
- Площадь: $S = R^2 \cdot \varepsilon$ на сфере и $S = R^2 \cdot \delta$ на плоскости Лобачевского кривизны $-\frac{1}{R^2}$.
Где ошибаются
- Подставляют избыток в градусах вместо радиан.
- Для многоугольника вычитают $\pi$, а не $(n - 2)\pi$.
- Путают знак: на плоскости Лобачевского избыток отрицательный, а площадь — недостача, положительная.
- Забывают умножить на $R^2$.