Логистическое отображение
Логистическое отображение x → rx(1 − x): неподвижные точки, когда они притягивают и когда отталкивают, и удвоение угла — простейший пример хаоса.
Как решать
Логистическое отображение $x \mapsto rx(1 - x)$ — простая модель численности популяции, и в нём рождается хаос. Неподвижная точка — значение, которое не меняется. Устойчива ли она, решает наклон графика в ней: если по модулю меньше единицы, соседние значения к ней притягиваются.
По шагам
- Неподвижные точки: решите $f(x) = x$. Для $f(x) = rx(1 - x)$ это $x = 0$ и $x^* = 1 - \frac{1}{r}$.
- Наклон в точке: $f'(x) = r(1 - 2x)$; в ненулевой неподвижной точке $f'(x^*) = 2 - r$.
- Устойчивость: $|f'(x^*)| < 1$ — точка притягивает, $|f'(x^*)| > 1$ — отталкивает. Для логистического отображения это $1 < r < 3$.
- Удвоение угла $\theta \mapsto 2\theta \pmod 1$: удваивайте и отбрасывайте целую часть, пока число не повторится; число шагов — период.
Где ошибаются
- Забывают, что $x = 0$ — тоже неподвижная точка, или, наоборот, отвечают нулём, когда спрашивают о ненулевой.
- Сравнивают с единицей сам наклон, а не его модуль: при $r = 4$ наклон $-2$, точка неустойчива.
- При удвоении угла не отбрасывают целую часть.
- Путают период с моментом первого повтора любого значения, а не начального.