Фрактальная размерность
Размерность самоподобной фигуры, счёт клеток на уровнях построения и уравнение Морана для копий разного размера — снежинка Коха, ковёр и треугольник Серпинского.
Как решать
Отрезок, уменьшенный вдвое, укладывается в себя $2$ раза, квадрат — $4 = 2^2$ раза, куб — $8 = 2^3$ раза. Показатель степени и есть размерность. У фракталов он получается дробным: треугольник Серпинского состоит из $3$ копий в масштабе $\frac{1}{2}$, и $2^D = 3$ даёт $D \approx 1{,}58$.
По шагам
- Самоподобная фигура из $N$ копий, уменьшенных в $k$ раз: $k^D = N$, то есть $D = \frac{\ln N}{\ln k}$.
- Счёт клеток: на каждом уровне построения число клеток умножается на $N$, а размер клетки делится на $k$.
- Копии разного размера: решите уравнение Морана $\sum r_i^D = 1$, где $r_i$ — коэффициенты уменьшения. Часто помогает замена $u = r^D$.
- Проверка: размерность должна лежать между размерностью «скелета» и пространства, например от $1$ до $2$ для фигур на плоскости.
Где ошибаются
- Делят $N$ на $k$ вместо отношения логарифмов: $D = \frac{\ln N}{\ln k}$, а не $\frac{N}{k}$.
- Путают коэффициент уменьшения $k$ с масштабом $\frac{1}{k}$ и получают отрицательную размерность.
- В счёте клеток забывают, что на первом уровне уже $N$ клеток, а не одна.
- Для копий разного размера усредняют коэффициенты вместо уравнения Морана.