Значения выражений

Логарифмы, степени, тригонометрия.

Как решать

Выражения с логарифмами

В таких заданиях калькулятор не нужен: выражение вроде $\log_5 65 - \log_5 13$ по свойствам логарифмов сворачивается в одно число. Задача — увидеть, какое свойство здесь работает.

По шагам

Посмотрите на основания. Если они одинаковые, сумму логарифмов соберите в логарифм произведения, а разность в логарифм частного: $\log_5 65 - \log_5 13 = \log_5 5 = 1$.
Число перед логарифмом можно внести внутрь показателем: $2\log_3 5 = \log_3 25$.
Выражение вида $a^{\log_a b}$ равно $b$.
В конце обычно остаётся $\log_a a^k = k$.

Первый аргумент.

Второй аргумент. Основание у обоих логарифмов одно и то же.

Пример: $\log_6 4 + \log_6 9 = \log_6 36 = 2$.

Одно и то же основание внизу и в логарифме.

Число, которое получается. По определению $\log_a b$ — это показатель, в который возводят $a$, чтобы получить $b$.

Пример: $3^{\log_3 7 + 1} = 3^{\log_3 7} \cdot 3 = 21$.

Где ошибаются

Складывают логарифмы с разными основаниями, хотя свойство работает только при одинаковых.
Раскладывают логарифм суммы: $\log_a(x + y)$ не равен $\log_a x + \log_a y$.
Путают разность логарифмов с их частным: $\log_a x - \log_a y = \log_a \frac{x}{y}$, а не $\frac{\log_a x}{\log_a y}$.

Пример

Выражения со степенями

Выражение вроде $\frac{2^5 \cdot 4^3}{8^3}$ выглядит громоздко, но если записать все числа степенями двойки, оно сворачивается в одну степень. Перемножать большие числа не придётся.

По шагам

Приведите все степени к одному основанию: $4 = 2^2$, $8 = 2^3$, $\frac{1}{2} = 2^{-1}$.
При умножении степеней показатели складывайте, при делении вычитайте, при возведении степени в степень перемножайте.
Посчитайте итоговый показатель и вычислите степень.

Показатель первой степени.

Показатель второй степени. Правила работают, только когда основания одинаковые.

Пример: $\frac{2^5 \cdot 4^3}{8^3} = \frac{2^5 \cdot 2^6}{2^9} = 2^{5 + 6 - 9} = 2^2 = 4$.

Где ошибаются

Перемножают показатели при умножении степеней: $2^3 \cdot 2^4 = 2^7$, а не $2^{12}$.
Объединяют степени с разными основаниями: $2^3 \cdot 3^2$ в одну степень не собрать.
Путают отрицательный показатель со знаком числа: $2^{-3} = \frac{1}{8}$, а не $-8$.

Пример

Тригонометрические выражения

Нужно найти значение вроде $10\cos 420^\circ$. Угол большой, но синус и косинус повторяются через полный оборот, $360^\circ$, а любой угол формулами приведения сводится к острому из таблицы.

По шагам

Уберите полные обороты: $\cos 420^\circ = \cos(420^\circ - 360^\circ) = \cos 60^\circ$.
Если угол отрицательный, используйте чётность: $\cos(-\alpha) = \cos \alpha$, $\sin(-\alpha) = -\sin \alpha$.
Сведите угол к острому формулами приведения: $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$, $\cos(180^\circ + \alpha) = -\cos \alpha$.
Возьмите значение из таблицы: $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

С углом $180^\circ$ функция остаётся той же. Знак — как у исходной функции в той четверти, где лежит угол.

С углами $90^\circ$ и $270^\circ$ синус превращается в косинус и наоборот. Знак определяется так же, по четверти.

Пример: $\sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$.

Где ошибаются

Забывают знак: косинус во второй и третьей четвертях отрицательный, синус в третьей и четвёртой.
Меняют синус на косинус там, где этого делать не нужно, — при углах $180^\circ$ и $360^\circ$.
Теряют минус у отрицательного угла в синусе: $\sin(-30^\circ) = -\frac{1}{2}$.