Математика EN

ЕНТ, математика

Единое национальное тестирование в Казахстане: уравнения, неравенства, значения выражений, системы, экстремумы и интегралы.

Задания собраны по темам. На тесте ответ выбирают из вариантов, здесь его нужно найти самому — так тема запоминается крепче.

Уравнения ОткрытьСвернуть

Линейные, квадратные, дробные, с модулем, показательные и логарифмические.

Как решать

Линейные уравнения

Линейное уравнение — такое, где неизвестное стоит только в первой степени: $3x + 5 = x - 7$. У него один корень, и находится он за несколько ходов.

По шагам

Раскройте скобки, если они есть.
Перенесите слагаемые с $x$ влево, а числа вправо. Переходя через знак «=», слагаемое меняет знак: $3x + 5 = x - 7$ превращается в $3x - x = -7 - 5$.
Приведите подобные: $2x = -12$.
Разделите обе части на число перед $x$: $x = -6$.
Проверьте подстановкой: слева $3 \cdot (-6) + 5 = -13$, справа $-6 - 7 = -13$. Сошлось.

Число перед $x$, его называют коэффициентом. Делить на него можно, только если $a \ne 0$.

Всё, что осталось справа после переноса и приведения подобных.

Если $x$ сократился и вышло неверное равенство вроде $0 = 5$, корней нет. Если вышло $0 = 0$, подходит любое число.

Где ошибаются

Переносят слагаемое в другую часть и забывают сменить у него знак.
Теряют минус при делении: из $-2x = 8$ получается $x = -4$, а не $4$.
Раскрывают скобку с минусом перед ней и меняют знак только у первого слагаемого. Правильно: $-(x - 3) = -x + 3$.

Пример

Квадратные уравнения

Квадратное уравнение записывают так: $ax^2 + bx + c = 0$, где $a \ne 0$. Корней у него не больше двух, а сколько их на самом деле, подсказывает одно число — дискриминант.

По шагам

Перенесите всё в левую часть, чтобы справа остался ноль. Выпишите коэффициенты $a$, $b$, $c$ вместе с их знаками.
Если $c = 0$, вынесите $x$ за скобку: $x(ax + b) = 0$, корни $0$ и $-\frac{b}{a}$. Если $b = 0$, выразите $x^2$ и извлеките корень.
Иначе посчитайте дискриминант $D = b^2 - 4ac$.
При $D > 0$ корней два, при $D = 0$ один, при $D < 0$ действительных корней нет.
Проверьте по теореме Виета: сумма корней равна $-\frac{b}{a}$, произведение $\frac{c}{a}$.

Коэффициент при $x$ со своим знаком. В уравнении $x^2 - 5x + 6 = 0$ это $b = -5$, а $-b = 5$.

Дискриминант: он и решает, сколько будет корней.

Коэффициент при $x^2$.

Пример: $x^2 - 5x + 6 = 0$, $D = 25 - 24 = 1$, $x = \frac{5 \pm 1}{2}$, то есть $x = 2$ и $x = 3$.

Где ошибаются

Берут $b$ без знака: в $x^2 - 5x + 6$ коэффициент $b = -5$, и $b^2 = 25$.
Считают дискриминант, пока справа ещё не ноль. Сначала всё переносят в одну часть.
Делят обе части на $x$ и теряют корень $x = 0$. Вместо деления выносите $x$ за скобку.

Пример

Дробные уравнения

В дробном уравнении неизвестное стоит в знаменателе: $\frac{x^2 - 1}{x - 1} = 0$. На ноль делить нельзя, и с этого правила начинается всё решение.

По шагам

Выпишите, при каких $x$ знаменатели обращаются в ноль. Эти значения запрещены; всё, что осталось, называют областью допустимых значений (ОДЗ).
Перенесите всё в одну часть и приведите к общему знаменателю, чтобы получилась одна дробь.
Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю. Решите уравнение «числитель $= 0$».
Выбросьте корни, запрещённые на первом шаге.

Числитель: его приравниваем к нулю.

Знаменатель: он не должен обращаться в ноль, поэтому такие корни отбрасываем.

Пример: в $\frac{x^2 - 1}{x - 1} = 0$ числитель даёт $x = 1$ и $x = -1$, но при $x = 1$ знаменатель равен нулю. Ответ: $x = -1$.

Где ошибаются

Забывают выбросить корень, при котором знаменатель равен нулю. Это самая частая ошибка.
Сокращают дробь на выражение с $x$ и не помнят, что это выражение не могло быть нулём.
При приведении к общему знаменателю домножают на множитель не все слагаемые.

Пример

Уравнения с модулем

Модуль $|a|$ — это расстояние от числа $a$ до нуля, поэтому он никогда не бывает отрицательным: $|3| = 3$, $|-3| = 3$. Уравнение с модулем почти всегда распадается на два обычных уравнения.

По шагам

Если справа отрицательное число, корней нет: модуль не бывает отрицательным.
Уравнение $|f(x)| = c$ при $c > 0$ распадается на два: $f(x) = c$ и $f(x) = -c$. Решите оба.
Уравнение $|f(x)| = |g(x)|$ тоже даёт два: $f(x) = g(x)$ и $f(x) = -g(x)$.
Соберите в ответ корни обоих уравнений.

Выражение под модулем.

Число справа. Формула работает при $c \ge 0$; при отрицательном $c$ корней нет.

Пример: $|2x - 1| = 5$. Уравнение $2x - 1 = 5$ даёт $x = 3$, а $2x - 1 = -5$ даёт $x = -2$. Ответ: $-2$ и $3$.

Где ошибаются

Решают только $f(x) = c$ и теряют второй корень.
Ищут корни, когда справа отрицательное число, хотя их там нет.
В уравнении $|x - 3| = |x + 1|$ забывают, что оба выражения могут быть противоположными: отсюда второе уравнение $x - 3 = -(x + 1)$.

Пример

Показательные уравнения

В показательном уравнении неизвестное стоит в показателе степени: $2^{x + 1} = 8$. Главный приём — записать обе части как степени одного и того же числа.

По шагам

Представьте обе части как степени одного основания: $8 = 2^3$, $\frac{1}{9} = 3^{-2}$, $\sqrt{5} = 5^{1/2}$.
Если основания равны, равны и показатели: $2^{x + 1} = 2^3$ значит $x + 1 = 3$.
Решите получившееся уравнение: здесь $x = 2$.
Если одним основанием не обойтись, как в $2^x = 5$, ответ записывают логарифмом: $x = \log_2 5$.

Основание: одно и то же положительное число, не равное $1$.

Показатель слева.

Показатель справа. Функция $a^x$ принимает каждое своё значение ровно один раз, поэтому из равенства степеней следует равенство показателей.

Пример: $\left(\frac{1}{3}\right)^{x} = 9$. Здесь $\frac{1}{3} = 3^{-1}$ и $9 = 3^2$, значит $3^{-x} = 3^2$ и $x = -2$.

Где ошибаются

Приравнивают показатели, когда основания разные: $2^x = 3^x$ так не решить.
Ошибаются со знаком у дроби: $\frac{1}{8} = 2^{-3}$, а не $2^3$.
Путают правила степеней: $(a^m)^n = a^{mn}$, а $a^m \cdot a^n = a^{m + n}$.

Пример

Логарифмические уравнения

Логарифм $\log_a b$ отвечает на вопрос: в какую степень нужно возвести $a$, чтобы получить $b$. Например, $\log_2 8 = 3$, потому что $2^3 = 8$. Логарифмическое уравнение почти всегда решается этим определением.

По шагам

Запишите ОДЗ: под логарифмом должно стоять положительное число, а основание должно быть положительным и не равным $1$.
Если уравнение имеет вид $\log_a f(x) = c$, по определению $f(x) = a^c$.
Если вид $\log_a f(x) = \log_a g(x)$, приравняйте аргументы: $f(x) = g(x)$.
Решите получившееся уравнение и проверьте каждый корень по ОДЗ.

Основание: $a > 0$ и $a \ne 1$.

Аргумент, число под логарифмом. Он всегда положительный.

Показатель, в который нужно возвести основание.

Пример: $\log_2(x - 1) = 3$, значит $x - 1 = 2^3 = 8$ и $x = 9$. Проверка ОДЗ: $9 - 1 = 8 > 0$.

Где ошибаются

Не проверяют ОДЗ и оставляют корень, при котором под логарифмом оказывается отрицательное число или ноль.
Путают, что во что возводить: $\log_3 x = 2$ даёт $x = 3^2 = 9$, а не $x = 2^3$.
Теряются при отрицательной правой части: $\log_3 x = -2$ даёт $x = 3^{-2} = \frac{1}{9}$. Корень есть, просто дробный.

Пример

Неравенства ОткрытьСвернуть

Квадратные, дробные, показательные и логарифмические.

Как решать

Квадратные неравенства

В квадратном неравенстве слева стоит квадратный трёхчлен: $x^2 - 5x + 6 \le 0$. Его график — парабола, и ответ удобнее всего прочитать прямо с картинки: где парабола выше оси, а где ниже.

По шагам

Перенесите всё в левую часть, чтобы справа остался ноль.
Найдите корни трёхчлена, решив уравнение $ax^2 + bx + c = 0$. В корнях парабола пересекает ось.
Нарисуйте параболу схематично: при $a > 0$ ветви смотрят вверх, при $a < 0$ вниз.
Для знака $>$ или $\ge$ возьмите участки, где парабола выше оси; для $<$ или $\le$ — где ниже.
Корни включайте в ответ, только если неравенство нестрогое.

Старший коэффициент. Если он положительный, ветви параболы направлены вверх: между корнями она под осью, снаружи над ней. При $a < 0$ всё наоборот.

Корни трёхчлена, $x_1 < x_2$.

Пример: $x^2 - 5x + 6 \le 0$. Корни $2$ и $3$, ветви вверх, нужны точки под осью вместе с корнями: $[2; 3]$.

Где ошибаются

Забывают, что при отрицательном $a$ парабола перевёрнута, и берут не тот участок.
Путают «между корнями» и «снаружи». Помогает быстрая проверка: подставьте одно число из ответа в неравенство.
Не знают, что делать при $D < 0$. Тогда трёхчлен везде одного знака, и ответ либо все числа, либо пустое множество.

Пример

Дробные неравенства

В дробном неравенстве неизвестное есть в знаменателе: $\frac{x - 1}{x + 2} \le 0$. Умножать на знаменатель нельзя: его знак неизвестен, и знак неравенства может перевернуться. Вместо этого работает метод интервалов.

По шагам

Перенесите всё в одну часть и приведите к одной дроби.
Найдите нули числителя и нули знаменателя и отметьте их на числовой прямой. Нули знаменателя всегда выколотые (пустые кружки): на ноль делить нельзя.
Эти точки делят прямую на промежутки. На каждом промежутке дробь сохраняет знак; узнайте его, подставив любое число из промежутка.
Выберите промежутки с нужным знаком. Нули числителя включайте, только если неравенство нестрогое.

Нуль числителя: здесь дробь равна нулю. Входит в ответ при нестрогом знаке.

Нуль знаменателя: здесь дробь не определена. В ответ не входит никогда.

Пример: $\frac{x - 1}{x + 2} \le 0$. Отмечаем $-2$ (выколота) и $1$ (закрашена). Правее $1$ дробь положительна, между $-2$ и $1$ отрицательна, левее $-2$ положительна. Ответ: $(-2; 1]$.

Где ошибаются

Умножают обе части на знаменатель, не зная его знака.
Включают в ответ нуль знаменателя, хотя при нём дробь не существует.
Расставляют знаки «через один», не проверив ни одной точки. Знак может и не меняться, например в точке, где множитель стоит в квадрате.

Пример

Показательные неравенства

Показательное неравенство вроде $2^{3x + 1} > \frac{1}{4}$ решается так же, как уравнение: обе части записываем степенями одного основания. Но потом важно посмотреть на само основание, больше оно единицы или меньше.

По шагам

Приведите обе части к степеням одного основания: $\frac{1}{4} = 2^{-2}$.
Если основание больше $1$, сравните показатели с тем же знаком: $2^{3x + 1} > 2^{-2}$ значит $3x + 1 > -2$.
Если основание от $0$ до $1$, знак при переходе к показателям меняется на противоположный.
Решите неравенство для показателей и запишите ответ промежутком.

Основание. При $a > 1$ функция $a^x$ растёт, поэтому большей степени соответствует больший показатель. При $0 < a < 1$ она убывает, и всё наоборот.

Пример: $\left(\frac{1}{3}\right)^{x - 1} \ge \frac{1}{9}$. Здесь $\frac{1}{9} = \left(\frac{1}{3}\right)^2$, основание меньше $1$, знак меняется: $x - 1 \le 2$, то есть $x \le 3$.

Где ошибаются

Не переворачивают знак, когда основание меньше единицы.
Сравнивают показатели степеней с разными основаниями.
Ищут решение у неравенства вроде $2^x > -5$, хотя оно верно при любом $x$: степень положительного числа всегда положительна.

Пример

Логарифмические неравенства

Логарифмическое неравенство, например $\log_2(x - 3) < 2$, похоже на показательное: снова всё решает основание. Добавляется только одно условие, без которого ответ получится неверным, — ОДЗ.

По шагам

Запишите ОДЗ: всё, что стоит под логарифмами, должно быть положительным.
Запишите правую часть как логарифм с тем же основанием: $2 = \log_2 4$.
Если основание больше $1$, знак при переходе к аргументам сохраняется; если от $0$ до $1$, меняется.
Решите неравенство для аргументов и пересеките ответ с ОДЗ.

Основание. При $a > 1$ логарифм растёт и знак сохраняется, при $0 < a < 1$ убывает и знак меняется. Условия $> 0$ в системе — это и есть ОДЗ.

Пример: $\log_2(x - 3) < 2$. ОДЗ: $x > 3$. Дальше $2 = \log_2 4$, основание больше $1$: $x - 3 < 4$, $x < 7$. Вместе с ОДЗ: $(3; 7)$.

Где ошибаются

Забывают ОДЗ, и в ответ попадают числа, при которых логарифм не существует.
Не переворачивают знак при основании меньше единицы.
Пишут $\log_2 x < 3 \iff x < 8$ и теряют левую границу: на самом деле $0 < x < 8$.

Пример

Значения выражений ОткрытьСвернуть

Логарифмы, степени, тригонометрия.

Как решать

Выражения с логарифмами

В таких заданиях калькулятор не нужен: выражение вроде $\log_5 65 - \log_5 13$ по свойствам логарифмов сворачивается в одно число. Задача — увидеть, какое свойство здесь работает.

По шагам

Посмотрите на основания. Если они одинаковые, сумму логарифмов соберите в логарифм произведения, а разность в логарифм частного: $\log_5 65 - \log_5 13 = \log_5 5 = 1$.
Число перед логарифмом можно внести внутрь показателем: $2\log_3 5 = \log_3 25$.
Выражение вида $a^{\log_a b}$ равно $b$.
В конце обычно остаётся $\log_a a^k = k$.

Первый аргумент.

Второй аргумент. Основание у обоих логарифмов одно и то же.

Пример: $\log_6 4 + \log_6 9 = \log_6 36 = 2$.

Одно и то же основание внизу и в логарифме.

Число, которое получается. По определению $\log_a b$ — это показатель, в который возводят $a$, чтобы получить $b$.

Пример: $3^{\log_3 7 + 1} = 3^{\log_3 7} \cdot 3 = 21$.

Где ошибаются

Складывают логарифмы с разными основаниями, хотя свойство работает только при одинаковых.
Раскладывают логарифм суммы: $\log_a(x + y)$ не равен $\log_a x + \log_a y$.
Путают разность логарифмов с их частным: $\log_a x - \log_a y = \log_a \frac{x}{y}$, а не $\frac{\log_a x}{\log_a y}$.

Пример

Выражения со степенями

Выражение вроде $\frac{2^5 \cdot 4^3}{8^3}$ выглядит громоздко, но если записать все числа степенями двойки, оно сворачивается в одну степень. Перемножать большие числа не придётся.

По шагам

Приведите все степени к одному основанию: $4 = 2^2$, $8 = 2^3$, $\frac{1}{2} = 2^{-1}$.
При умножении степеней показатели складывайте, при делении вычитайте, при возведении степени в степень перемножайте.
Посчитайте итоговый показатель и вычислите степень.

Показатель первой степени.

Показатель второй степени. Правила работают, только когда основания одинаковые.

Пример: $\frac{2^5 \cdot 4^3}{8^3} = \frac{2^5 \cdot 2^6}{2^9} = 2^{5 + 6 - 9} = 2^2 = 4$.

Где ошибаются

Перемножают показатели при умножении степеней: $2^3 \cdot 2^4 = 2^7$, а не $2^{12}$.
Объединяют степени с разными основаниями: $2^3 \cdot 3^2$ в одну степень не собрать.
Путают отрицательный показатель со знаком числа: $2^{-3} = \frac{1}{8}$, а не $-8$.

Пример

Тригонометрические выражения

Нужно найти значение вроде $10\cos 420^\circ$. Угол большой, но синус и косинус повторяются через полный оборот, $360^\circ$, а любой угол формулами приведения сводится к острому из таблицы.

По шагам

Уберите полные обороты: $\cos 420^\circ = \cos(420^\circ - 360^\circ) = \cos 60^\circ$.
Если угол отрицательный, используйте чётность: $\cos(-\alpha) = \cos \alpha$, $\sin(-\alpha) = -\sin \alpha$.
Сведите угол к острому формулами приведения: $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$, $\cos(180^\circ + \alpha) = -\cos \alpha$.
Возьмите значение из таблицы: $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

С углом $180^\circ$ функция остаётся той же. Знак — как у исходной функции в той четверти, где лежит угол.

С углами $90^\circ$ и $270^\circ$ синус превращается в косинус и наоборот. Знак определяется так же, по четверти.

Пример: $\sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$.

Где ошибаются

Забывают знак: косинус во второй и третьей четвертях отрицательный, синус в третьей и четвёртой.
Меняют синус на косинус там, где этого делать не нужно, — при углах $180^\circ$ и $360^\circ$.
Теряют минус у отрицательного угла в синусе: $\sin(-30^\circ) = -\frac{1}{2}$.

Пример

Системы уравнений ОткрытьСвернуть

Линейные и нелинейные системы с двумя неизвестными.

Как решать

Системы линейных уравнений

Система из двух линейных уравнений, например $x + 2y = 7$ и $3x - y = 7$, — это два условия на одну и ту же пару чисел $(x; y)$. Нужно найти пару, которая подходит в оба. Обычно это делают подстановкой или сложением.

По шагам

Найдите уравнение, где одну переменную удобно выразить (коэффициент $1$ или $-1$), и выразите её: из $x + 2y = 7$ получаем $x = 7 - 2y$.
Подставьте это выражение во второе уравнение: $3(7 - 2y) - y = 7$. Осталась одна неизвестная.
Решите его: $21 - 7y = 7$, $y = 2$. Затем найдите вторую переменную: $x = 7 - 4 = 3$.
Если выражать неудобно, сложите уравнения, сначала умножив их так, чтобы коэффициенты при одной переменной стали противоположными.
Проверьте пару в обоих уравнениях и запишите ответ: $(3; 2)$.

Коэффициенты при $x$ противоположны, поэтому при сложении уравнений $x$ исчезает.

Дальше $y = 2$, и из любого уравнения $x = \frac{1}{2}$. Проверка: $2 \cdot \frac{1}{2} + 3 \cdot 2 = 7$.

Где ошибаются

Умножают на число только одну часть уравнения, а нужно обе.
Подставляют найденное число и не проверяют пару во втором уравнении.
Путают порядок в паре: сначала пишут $x$, потом $y$.

Пример

Нелинейные системы

В нелинейной системе одно уравнение линейное, а другое нет: $x + y = 1$, $xy = -12$. Решений обычно два, и каждое — пара чисел. Работает подстановка: выражаем переменную из линейного уравнения и подставляем в другое.

По шагам

Из линейного уравнения выразите одну переменную: $y = 1 - x$.
Подставьте во второе уравнение: $x(1 - x) = -12$.
Решите получившееся квадратное уравнение: $x^2 - x - 12 = 0$, корни $4$ и $-3$.
Для каждого корня найдите вторую переменную: $y = 1 - 4 = -3$ и $y = 1 - (-3) = 4$. Получились две пары.
Проверьте обе пары и запишите их в ответ: $(4; -3)$ и $(-3; 4)$.

Сумма неизвестных.

Их произведение. Это теорема Виета, прочитанная наоборот.

Пример: $x + y = 1$, $xy = -12$ дают $t^2 - t - 12 = 0$ с корнями $4$ и $-3$.

Где ошибаются

Находят только $x$ и забывают вычислить $y$.
Записывают одну пару, хотя у квадратного уравнения два корня и решений тоже два.
Меняют местами $x$ и $y$ в паре.

Пример

Наибольшее и наименьшее значение ОткрытьСвернуть

Производная помогает найти, где функция больше всего и меньше всего.

Как решать

Наибольшее и наименьшее значение на отрезке

Нужно найти наибольшее или наименьшее значение функции на отрезке, например $y = x^3 - 3x - 7$ на $[0; 2]$. Свои крайние значения функция принимает либо на концах отрезка, либо там, где её производная равна нулю. Значит, достаточно проверить несколько точек.

По шагам

Найдите производную. Чаще всего хватает правила $(x^n)' = nx^{n - 1}$: $(x^3 - 3x - 7)' = 3x^2 - 3$.
Решите уравнение $y' = 0$ — это критические точки: $x = \pm 1$.
Оставьте только те из них, что лежат внутри отрезка: здесь $x = 1$.
Посчитайте значения функции в этих точках и на концах отрезка: $y(0) = -7$, $y(1) = -9$, $y(2) = -5$.
Самое большое из этих чисел — наибольшее значение, самое маленькое — наименьшее: здесь $-5$ и $-9$.

Концы отрезка: они всегда входят в список кандидатов.

Критические точки внутри отрезка, где $f'(x) = 0$.

Наименьшее значение ищут так же, только из тех же чисел берут самое маленькое.

Где ошибаются

Забывают посчитать значения на концах отрезка, хотя ответ часто именно там.
Берут критическую точку, которая лежит вне отрезка.
Записывают в ответ точку $x$ вместо значения функции. Спрашивают про значение $y$.

Пример

Первообразная и интеграл ОткрытьСвернуть

Найти первообразную и вычислить определённый интеграл.

Как решать

Первообразные

Первообразная — функция $F$, производная которой равна данной: $F' = f$. Искать её — значит читать таблицу производных наоборот. Ответ всегда можно проверить: продифференцируйте его и сравните с тем, что было под интегралом.

По шагам

Таблица: $\int x^n\,dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C$ при $n \ne -1$, $\int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C$, $\int \cos x\,dx = \sin x + C$, $\int e^x\,dx = e^x + C$.
Если под функцией стоит $kx + b$, результат делится на $k$: $\int \cos 3x\,dx = \frac{\sin 3x}{3} + C$.
Если рядом стоит производная внутренней функции, сделайте замену $t = g(x)$: $\int 2x e^{x^2}\,dx = e^{x^2} + C$.
Произведение многочлена на $e^x$, $\sin x$ или $\cos x$ берут по частям.
Проверьте ответ дифференцированием.

То, что упрощается при дифференцировании: многочлен или логарифм.

То, что легко проинтегрировать: $e^x$, $\sin x$, $\cos x$.

Пример: $\int x e^{x}\,dx = x e^{x} - \int e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x} + C$.

Где ошибаются

Делят на $n$ вместо $n + 1$: $\int x^3\,dx = \frac{x^4}{4} + C$.
Забывают разделить на $k$ при линейной замене.
Не проверяют ответ, хотя проверка дифференцированием занимает минуту.

Пример

Определённые интегралы

Определённый интеграл $\int_a^b f(x)\,dx$ — это площадь под графиком с учётом знака. Считают его без всяких площадей: находят первообразную и вычитают её значения на концах отрезка.

По шагам

Найдите первообразную $F(x)$, как в задачах на первообразные. Постоянная $C$ здесь не нужна: при вычитании она всё равно сократится.
Подставьте верхний предел, потом нижний и вычтите: $F(b) - F(a)$.
Значение $F(a)$ вычитайте целиком, в скобках: в нём могут быть свои минусы.

Нижний предел. Значение первообразной в нём вычитается.

Верхний предел.

Пример: $\int_0^2 3x^2\,dx = x^3 \Big|_0^2 = 8 - 0 = 8$.

Где ошибаются

Вычитают в обратном порядке: $F(a) - F(b)$ даёт ответ с противоположным знаком.
Теряют минус, когда $F(a)$ отрицательно: $F(b) - (-3) = F(b) + 3$.
Ошибаются в самой первообразной. Проверьте её производной, прежде чем подставлять пределы.