Первообразная и интеграл
Найти первообразную и вычислить определённый интеграл.
Как решать
Первообразные
Первообразная — функция $F$, производная которой равна данной: $F' = f$. Искать её — значит читать таблицу производных наоборот. Ответ всегда можно проверить: продифференцируйте его и сравните с тем, что было под интегралом.
По шагам
- Таблица: $\int x^n\,dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C$ при $n \ne -1$, $\int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C$, $\int \cos x\,dx = \sin x + C$, $\int e^x\,dx = e^x + C$.
- Если под функцией стоит $kx + b$, результат делится на $k$: $\int \cos 3x\,dx = \frac{\sin 3x}{3} + C$.
- Если рядом стоит производная внутренней функции, сделайте замену $t = g(x)$: $\int 2x e^{x^2}\,dx = e^{x^2} + C$.
- Произведение многочлена на $e^x$, $\sin x$ или $\cos x$ берут по частям.
- Проверьте ответ дифференцированием.
Где ошибаются
- Делят на $n$ вместо $n + 1$: $\int x^3\,dx = \frac{x^4}{4} + C$.
- Забывают разделить на $k$ при линейной замене.
- Не проверяют ответ, хотя проверка дифференцированием занимает минуту.
Пример
Определённые интегралы
Определённый интеграл $\int_a^b f(x)\,dx$ — это площадь под графиком с учётом знака. Считают его без всяких площадей: находят первообразную и вычитают её значения на концах отрезка.
По шагам
- Найдите первообразную $F(x)$, как в задачах на первообразные. Постоянная $C$ здесь не нужна: при вычитании она всё равно сократится.
- Подставьте верхний предел, потом нижний и вычтите: $F(b) - F(a)$.
- Значение $F(a)$ вычитайте целиком, в скобках: в нём могут быть свои минусы.
Где ошибаются
- Вычитают в обратном порядке: $F(a) - F(b)$ даёт ответ с противоположным знаком.
- Теряют минус, когда $F(a)$ отрицательно: $F(b) - (-3) = F(b) + 3$.
- Ошибаются в самой первообразной. Проверьте её производной, прежде чем подставлять пределы.