Уравнения
Линейные, квадратные, дробные, с модулем, показательные и логарифмические.
Как решать
Линейные уравнения
Линейное уравнение — такое, где неизвестное стоит только в первой степени: $3x + 5 = x - 7$. У него один корень, и находится он за несколько ходов.
По шагам
- Раскройте скобки, если они есть.
- Перенесите слагаемые с $x$ влево, а числа вправо. Переходя через знак «=», слагаемое меняет знак: $3x + 5 = x - 7$ превращается в $3x - x = -7 - 5$.
- Приведите подобные: $2x = -12$.
- Разделите обе части на число перед $x$: $x = -6$.
- Проверьте подстановкой: слева $3 \cdot (-6) + 5 = -13$, справа $-6 - 7 = -13$. Сошлось.
Где ошибаются
- Переносят слагаемое в другую часть и забывают сменить у него знак.
- Теряют минус при делении: из $-2x = 8$ получается $x = -4$, а не $4$.
- Раскрывают скобку с минусом перед ней и меняют знак только у первого слагаемого. Правильно: $-(x - 3) = -x + 3$.
Пример
Квадратные уравнения
Квадратное уравнение записывают так: $ax^2 + bx + c = 0$, где $a \ne 0$. Корней у него не больше двух, а сколько их на самом деле, подсказывает одно число — дискриминант.
По шагам
- Перенесите всё в левую часть, чтобы справа остался ноль. Выпишите коэффициенты $a$, $b$, $c$ вместе с их знаками.
- Если $c = 0$, вынесите $x$ за скобку: $x(ax + b) = 0$, корни $0$ и $-\frac{b}{a}$. Если $b = 0$, выразите $x^2$ и извлеките корень.
- Иначе посчитайте дискриминант $D = b^2 - 4ac$.
- При $D > 0$ корней два, при $D = 0$ один, при $D < 0$ действительных корней нет.
- Проверьте по теореме Виета: сумма корней равна $-\frac{b}{a}$, произведение $\frac{c}{a}$.
Где ошибаются
- Берут $b$ без знака: в $x^2 - 5x + 6$ коэффициент $b = -5$, и $b^2 = 25$.
- Считают дискриминант, пока справа ещё не ноль. Сначала всё переносят в одну часть.
- Делят обе части на $x$ и теряют корень $x = 0$. Вместо деления выносите $x$ за скобку.
Пример
Дробные уравнения
В дробном уравнении неизвестное стоит в знаменателе: $\frac{x^2 - 1}{x - 1} = 0$. На ноль делить нельзя, и с этого правила начинается всё решение.
По шагам
- Выпишите, при каких $x$ знаменатели обращаются в ноль. Эти значения запрещены; всё, что осталось, называют областью допустимых значений (ОДЗ).
- Перенесите всё в одну часть и приведите к общему знаменателю, чтобы получилась одна дробь.
- Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю. Решите уравнение «числитель $= 0$».
- Выбросьте корни, запрещённые на первом шаге.
Где ошибаются
- Забывают выбросить корень, при котором знаменатель равен нулю. Это самая частая ошибка.
- Сокращают дробь на выражение с $x$ и не помнят, что это выражение не могло быть нулём.
- При приведении к общему знаменателю домножают на множитель не все слагаемые.
Пример
Уравнения с модулем
Модуль $|a|$ — это расстояние от числа $a$ до нуля, поэтому он никогда не бывает отрицательным: $|3| = 3$, $|-3| = 3$. Уравнение с модулем почти всегда распадается на два обычных уравнения.
По шагам
- Если справа отрицательное число, корней нет: модуль не бывает отрицательным.
- Уравнение $|f(x)| = c$ при $c > 0$ распадается на два: $f(x) = c$ и $f(x) = -c$. Решите оба.
- Уравнение $|f(x)| = |g(x)|$ тоже даёт два: $f(x) = g(x)$ и $f(x) = -g(x)$.
- Соберите в ответ корни обоих уравнений.
Где ошибаются
- Решают только $f(x) = c$ и теряют второй корень.
- Ищут корни, когда справа отрицательное число, хотя их там нет.
- В уравнении $|x - 3| = |x + 1|$ забывают, что оба выражения могут быть противоположными: отсюда второе уравнение $x - 3 = -(x + 1)$.
Пример
Показательные уравнения
В показательном уравнении неизвестное стоит в показателе степени: $2^{x + 1} = 8$. Главный приём — записать обе части как степени одного и того же числа.
По шагам
- Представьте обе части как степени одного основания: $8 = 2^3$, $\frac{1}{9} = 3^{-2}$, $\sqrt{5} = 5^{1/2}$.
- Если основания равны, равны и показатели: $2^{x + 1} = 2^3$ значит $x + 1 = 3$.
- Решите получившееся уравнение: здесь $x = 2$.
- Если одним основанием не обойтись, как в $2^x = 5$, ответ записывают логарифмом: $x = \log_2 5$.
Где ошибаются
- Приравнивают показатели, когда основания разные: $2^x = 3^x$ так не решить.
- Ошибаются со знаком у дроби: $\frac{1}{8} = 2^{-3}$, а не $2^3$.
- Путают правила степеней: $(a^m)^n = a^{mn}$, а $a^m \cdot a^n = a^{m + n}$.
Пример
Логарифмические уравнения
Логарифм $\log_a b$ отвечает на вопрос: в какую степень нужно возвести $a$, чтобы получить $b$. Например, $\log_2 8 = 3$, потому что $2^3 = 8$. Логарифмическое уравнение почти всегда решается этим определением.
По шагам
- Запишите ОДЗ: под логарифмом должно стоять положительное число, а основание должно быть положительным и не равным $1$.
- Если уравнение имеет вид $\log_a f(x) = c$, по определению $f(x) = a^c$.
- Если вид $\log_a f(x) = \log_a g(x)$, приравняйте аргументы: $f(x) = g(x)$.
- Решите получившееся уравнение и проверьте каждый корень по ОДЗ.
Где ошибаются
- Не проверяют ОДЗ и оставляют корень, при котором под логарифмом оказывается отрицательное число или ноль.
- Путают, что во что возводить: $\log_3 x = 2$ даёт $x = 3^2 = 9$, а не $x = 2^3$.
- Теряются при отрицательной правой части: $\log_3 x = -2$ даёт $x = 3^{-2} = \frac{1}{9}$. Корень есть, просто дробный.