Наибольшее и наименьшее значение
Производная помогает найти, где функция больше всего и меньше всего.
Как решать
Наибольшее и наименьшее значение на отрезке
Нужно найти наибольшее или наименьшее значение функции на отрезке, например $y = x^3 - 3x - 7$ на $[0; 2]$. Свои крайние значения функция принимает либо на концах отрезка, либо там, где её производная равна нулю. Значит, достаточно проверить несколько точек.
По шагам
- Найдите производную. Чаще всего хватает правила $(x^n)' = nx^{n - 1}$: $(x^3 - 3x - 7)' = 3x^2 - 3$.
- Решите уравнение $y' = 0$ — это критические точки: $x = \pm 1$.
- Оставьте только те из них, что лежат внутри отрезка: здесь $x = 1$.
- Посчитайте значения функции в этих точках и на концах отрезка: $y(0) = -7$, $y(1) = -9$, $y(2) = -5$.
- Самое большое из этих чисел — наибольшее значение, самое маленькое — наименьшее: здесь $-5$ и $-9$.
Где ошибаются
- Забывают посчитать значения на концах отрезка, хотя ответ часто именно там.
- Берут критическую точку, которая лежит вне отрезка.
- Записывают в ответ точку $x$ вместо значения функции. Спрашивают про значение $y$.