This chapter hasn’t been translated into English yet, so here is the Russian original. Your browser can translate the page; the formulas and widgets work the same. Back to the English contents →

Решатель

Решение квадратного уравнения онлайн с дискриминантом и проверкой

Введите уравнение в любом виде — со скобками, дробями, иксами в обеих частях. Решатель приведёт его к виду $ax^2 + bx + c = 0$, найдёт дискриминант и корни, проверит их подстановкой и покажет параболу.

Примеры: x^2 - 5x + 6 = 0 2x^2 + 3x - 2 = 0 x^2 - 2x - 1 = 0 x^2 + 2x + 5 = 0 x^2 - 6x + 9 = 0 3x^2 = 12 x^2 = 5x (x - 1)^2 = 4

Загружаем решатель…

Что можно ввести

Уравнение пишется так же, как в тетради: x^2 - 5x + 6 = 0. Квадрат — через ^2 или значком ², знак умножения между числом и буквой можно не ставить. Приводить уравнение к стандартному виду самому необязательно: (x - 1)^2 = 4, x(x + 3) = 10, x^2 = 5x и 0,5x^2 - x = 4 решатель перепишет сам и покажет, что при этом сделал. Можно ввести и одно выражение без знака равенства — тогда правая часть считается нулём, а запись y = x^2 - 4 понимается как вопрос «где парабола пересекает ось».

Буква не обязательно $x$: t^2 - t - 2 = 0 решится относительно $t$. А вот две буквы сразу, например $ax^2 + bx + c = 0$ с буквенными коэффициентами, решатель не берёт: подставьте вместо $a$, $b$ и $c$ числа. Если после упрощения $x^2$ исчезает или остаётся $x^3$, он скажет об этом и отправит к подходящему решателю.

Как решать: четыре шага

1. Всё в левую часть. Формула корней работает только для уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$. Раскрываем скобки, переносим слагаемые из правой части с противоположным знаком и приводим подобные. Если коэффициенты дробные, умножаем обе части на общий знаменатель; если у всех коэффициентов есть общий множитель, делим на него. Корни от этого не меняются, а считать становится проще: $6x^2 - 12x - 18 = 0$ и $x^2 - 2x - 3 = 0$ — одно и то же уравнение.

2. Выписываем коэффициенты вместе со знаками. В $x^2 - 5x + 6 = 0$ старший коэффициент $a = 1$ (перед $x^2$ ничего не написано), $b = -5$ (минус — часть коэффициента), $c = 6$.

3. Смотрим, не неполное ли уравнение. Если $b = 0$ или $c = 0$, дискриминант не нужен: есть путь короче.

$c = 0$: выносим $x$ за скобки. Из $x^2 - 5x = 0$ получаем $x(x - 5) = 0$, а произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю: $x = 0$ или $x = 5$.
$b = 0$: выражаем $x^2$. Из $3x^2 - 12 = 0$ получаем $x^2 = 4$, откуда $x = \pm 2$. Если справа отрицательное число, как в $x^2 = -3$, действительных корней нет: квадрат не бывает отрицательным.

4. Иначе — дискриминант и формула. Считаем $D = b^2 - 4ac$. Если $D > 0$, корней два, если $D = 0$ — один, если $D < 0$ — действительных корней нет. Сами корни даёт формула из следующего раздела. В конце корни полезно проверить: подставить в исходное уравнение или сравнить их сумму и произведение с коэффициентами по теореме Виета. Решатель делает и то и другое.

Почему формула работает

Формула корней — это выделение полного квадрата, проделанное один раз в общем виде. Разделим уравнение на $a$ (можно, ведь $a \ne 0$) и перенесём свободный член вправо:

$$x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}.$$

Слева не хватает одного слагаемого до квадрата суммы: $x^2 + 2 \cdot \frac{b}{2a} \cdot x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 = \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2$. Прибавим $\left(\frac{b}{2a}\right)^2$ к обеим частям и приведём правую часть к общему знаменателю:

$$\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}.$$

Слева квадрат, а он не бывает отрицательным. Поэтому всё решает знак числителя справа — того самого $b^2 - 4ac$. Если он отрицателен, равенство невозможно ни при каком действительном $x$. Если он неотрицателен, извлекаем корень с обоими знаками и вычитаем $\frac{b}{2a}$.

Второй коэффициент с противоположным знаком. При $b = -5$ здесь стоит $+5$ — на этом минусе ошибаются чаще всего.

Дискриминант. Он стоит под корнем, поэтому его знак говорит, сколько у уравнения действительных корней: два, один или ни одного.

Удвоенный старший коэффициент. Делить на него нужно весь числитель, а не только корень.

Пример: $2x^2 + 3x - 2 = 0$, здесь $a = 2$, $b = 3$, $c = -2$. Дискриминант $D = 9 + 16 = 25$, поэтому $x_{1,2} = \frac{-3 \pm 5}{4}$: $x_1 = -2$, $x_2 = \frac12$. Проверка: $2 \cdot 4 - 6 - 2 = 0$ и $2 \cdot \frac14 + \frac32 - 2 = 0$.

У формулы есть наглядный смысл. Корни уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ — это точки, где парабола $y = ax^2 + bx + c$ пересекает ось $Ox$. Вершина параболы лежит при $x_0 = -\frac{b}{2a}$, ровно посередине между корнями, а слагаемое $\pm\frac{\sqrt{D}}{2a}$ — это шаг от вершины до каждого корня влево и вправо. При $D = 0$ шаг нулевой: вершина лежит на оси, и парабола касается её в одной точке. При $D < 0$ вершина и ветви по одну сторону оси, пересечений нет. Всё это решатель показывает на графике.

Если второй коэффициент чётный, $b = 2k$, двойки сокращаются заранее: $\frac{D}{4} = k^2 - ac$ и $x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D/4}}{a}$. Для $4x^2 - 12x + 7 = 0$ получаем $k = -6$, $\frac{D}{4} = 36 - 28 = 8$ и $x_{1,2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{2}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{2}}{2}$ — числа мельче, чем в обычной формуле с $D = 32$.

Разобранные примеры

Пример 1. Иксы в обеих частях: $x^2 = 5x - 6$

Сначала переносим всё влево: $x^2 - 5x + 6 = 0$. Теперь $a = 1$, $b = -5$, $c = 6$. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$ положителен, корней два:

$$x_{1,2} = \frac{5 \pm 1}{2}, \qquad x_1 = 2, \quad x_2 = 3.$$

Проверка по Виету: $2 + 3 = 5 = -\frac{b}{a}$ и $2 \cdot 3 = 6 = \frac{c}{a}$. Заодно получилось разложение: $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$.

Пример 2. Корень не извлекается: $x^2 - 2x - 1 = 0$

$a = 1$, $b = -2$, $c = -1$, $D = 4 + 4 = 8$. Число $8$ — не квадрат, но из-под корня можно вынести множитель: $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$. Тогда

$$x_{1,2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}.$$

Точный ответ: $x_1 = 1 - \sqrt{2} \approx -0{,}414$, $x_2 = 1 + \sqrt{2} \approx 2{,}414$. Округлять раньше времени не стоит: подстановка $1 + \sqrt 2$ даёт ровно ноль, $(1 + \sqrt2)^2 - 2(1 + \sqrt 2) - 1 = 3 + 2\sqrt2 - 2 - 2\sqrt2 - 1 = 0$, а подстановка $2{,}414$ — только почти ноль.

Пример 3. Дискриминант отрицательный: $x^2 + 2x + 5 = 0$

$D = 4 - 20 = -16 < 0$. Квадратный корень из отрицательного числа среди действительных чисел не извлекается, поэтому действительных корней нет. На графике видно почему: вершина параболы $y = x^2 + 2x + 5$ находится в точке $(-1;\ 4)$, выше оси, а ветви смотрят вверх.

Если разрешить мнимую единицу $i$, у которой $i^2 = -1$, то $\sqrt{-16} = 4i$, и корни появляются: $x_{1,2} = \frac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i$. Это пара комплексно-сопряжённых чисел; решатель показывает их на комплексной плоскости.

Пример 4. Неполные уравнения: $3x^2 = 12$ и $x^2 = 5x$

В первом нет слагаемого с $x$: делим на $3$, $x^2 = 4$, откуда $x = -2$ или $x = 2$. Во втором после переноса $x^2 - 5x = 0$ нет свободного члена: $x(x - 5) = 0$, откуда $x = 0$ или $x = 5$. Дискриминант дал бы те же ответы, только дольше.

Проверка и разложение на множители

Найденные корни $x_1$ и $x_2$ легко проверить без подстановки. По теореме Виета $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ и $x_1 x_2 = \frac{c}{a}$. Для $2x^2 + 3x - 2 = 0$ с корнями $-2$ и $\frac12$ сумма равна $-\frac32$, произведение $-1$ — ровно $-\frac{3}{2}$ и $\frac{-2}{2}$. Теорема работает и для «некрасивых» корней: $(1 - \sqrt2) + (1 + \sqrt2) = 2$, $(1 - \sqrt2)(1 + \sqrt2) = 1 - 2 = -1$.

Корни дают и разложение трёхчлена на множители: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$. Например, $2x^2 + 3x - 2 = 2(x + 2)\left(x - \frac12\right) = (x + 2)(2x - 1)$. Это нужно, чтобы сокращать дроби вроде $\frac{2x^2 + 3x - 2}{x + 2}$ и решать неравенства методом интервалов.

Типичные ошибки

Формулу применяют до переноса слагаемых. В $x^2 = 5x - 6$ коэффициенты не $1$, $5$ и $-6$: сначала $x^2 - 5x + 6 = 0$, потом $a = 1$, $b = -5$, $c = 6$.
Теряют знак у $b$. При $b = -5$ в числителе стоит $-b = 5$, а $b^2 = 25$, а не $-25$.
Ошибаются в знаке $4ac$. При $c < 0$ произведение $4ac$ отрицательно, и дискриминант растёт: для $x^2 - 2x - 3$ получается $D = 4 + 12 = 16$, а не $4 - 12$.
Делят на $2a$ не весь числитель. $\frac{-b \pm \sqrt D}{2a}$ — это не $-b \pm \frac{\sqrt D}{2a}$.
Теряют отрицательный корень. Из $x^2 = 4$ следует $x = \pm 2$, а не только $x = 2$.
Делят обе части на $x$. Из $x^2 = 5x$ «сокращением» получается $x = 5$, а корень $x = 0$ пропадает. Делить на выражение, которое может равняться нулю, нельзя; выносите $x$ за скобки.
Пишут два корня при $D = 0$. У $x^2 - 6x + 9 = 0$ корень один: $x = 3$. Иногда говорят «два совпавших корня» — это про кратность, а не про два разных числа.
Путают «нет действительных корней» и «нет корней вообще». В школьной задаче при $D < 0$ пишут «корней нет», и это верно для действительных чисел. Но среди комплексных чисел корни у квадратного уравнения есть всегда.

Что ещё посмотреть

История формулы — от вавилонской таблички до Виета, вывод с картинкой и игра «найди корни по сумме и произведению» — в главе «Квадратные уравнения»; там же дискриминант как число пересечений и вершина параболы. Набить руку можно в тренажёре. Если после упрощения осталось линейное уравнение, его решит решатель линейных уравнений; уравнения третьей и четвёртой степени, биквадратные и разложение многочленов — решатель уравнений высокой степени; квадратные неравенства — метод интервалов. А что делать с $\sqrt{-16}$, расскажет глава о комплексных числах.