This chapter hasn’t been translated into English yet, so here is the Russian original. Your browser can translate the page; the formulas and widgets work the same. Back to the English contents →

Решатель

Предел онлайн: решение по шагам с таблицей значений

Введите предел функции или последовательности — решатель определит вид неопределённости, подберёт приём (сокращение, сопряжённое, эквивалентные, замечательные пределы, правило Лопиталя), объяснит каждый шаг и сверит ответ с таблицей значений.

Примеры: lim x->0 sin(x)/x lim x->1 (x^2 - 1)/(x - 1) lim x->∞ (1 + 1/x)^x lim x->0 (1 - cos x)/x^2 lim x->∞ (sqrt(x^2 + x) - x) lim x->∞ (3x^2 + 1)/(2x^2 - x) lim x->0 1/x lim x->0+ x ln x

Загружаем решатель…

Что можно ввести

Предел пишут словом lim и стрелкой: lim x->0 sin(x)/x. Стрелку можно набрать как -> или →, бесконечность — как ∞ или inf, со знаком или без: x -> -∞. Подойдёт и запись словами: «предел (x^2 - 1)/(x - 1) при x -> 1», «sin x / x при x стремящемся к 0», а для последовательности — «(1 + 1/n)^n, n -> ∞». Понимается и LaTeX: \lim_{x \to 0}.

Односторонний предел отмечают знаком после точки: x -> 0+ (справа), x -> 0- (слева), или по-русски: x -> +0, x -> 2 - 0, или словами «справа», «слева». Если функция определена только с одной стороны от точки, как $\sqrt{x}$ или $x \ln x$ около нуля, решатель сам возьмёт предел с этой стороны и скажет об этом.

Как вычислять предел

1. Подставьте точку. Если функция в ней определена и непрерывна, предел равен её значению: $\lim_{x \to 3} x^2 = 9$. Большинство «пределов для разминки» на этом и заканчиваются.

2. Если подстановка даёт бессмыслицу, определите её вид. $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $\infty - \infty$, $0 \cdot \infty$, $1^\infty$, $0^0$, $\infty^0$ — это неопределённости: ответ может оказаться любым, и его нужно добыть преобразованием. А вот $\frac{1}{0}$ неопределённостью не является: предел бесконечен (или его нет, если знаки слева и справа разные).

3. Примените приём, который снимает именно эту неопределённость.

$\frac00$ с многочленами — разложить числитель и знаменатель на множители и сократить общий множитель $(x - a)$.
$\frac00$ или $\infty - \infty$ с корнями — домножить на сопряжённое: $(\sqrt{A} - B)(\sqrt{A} + B) = A - B^2$.
$\frac\infty\infty$ при $x \to \infty$ — разделить числитель и знаменатель на старшую степень $x$.
$\frac00$ с синусами, экспонентами и логарифмами — заменить множители эквивалентными (таблица ниже) или воспользоваться замечательными пределами.
$1^\infty$ — второй замечательный предел: $\lim (1 + u)^{1/u} = e$, поэтому $\lim\, (1 + u)^{v} = e^{\lim u v}$ при $u \to 0$.
Если ничего не помогает — правило Лопиталя: предел отношения двух бесконечно малых (или бесконечно больших) равен пределу отношения их производных, если последний существует.

При $u \to 0$	Эквивалентная
$\sin u,\ \operatorname{tg} u,\ \arcsin u,\ \operatorname{arctg} u$	$u$
$1 - \cos u$	$\dfrac{u^2}{2}$
$e^u - 1$	$u$
$a^u - 1$	$u \ln a$
$\ln(1 + u)$	$u$
$(1 + u)^k - 1$	$k u$

Заменять эквивалентными можно только множители в произведении и частном, но не слагаемые в сумме — об этой ловушке ниже.

Что такое предел и почему приёмы законны

Слова «$f(x)$ стремится к $L$» означают: значения функции сколь угодно близки к $L$, если $x$ достаточно близко к $a$. Самой точки $a$ это не касается — функция может быть в ней не определена или равна чему угодно. Строго это записал Коши, а в виде «эпсилон — дельта» — Вейерштрасс:

Число, к которому собираются значения функции.

Допуск: насколько близко к $L$ мы требуем быть. Он любой, сколь угодно малый.

Ответ на вызов: насколько близко к $a$ нужно взять $x$, чтобы уложиться в допуск. Условие $0 < |x - a|$ выкидывает саму точку $a$.

Пример: $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$, $a = 1$, $L = 2$. При $x \ne 1$ дробь равна $x + 1$, так что $|f(x) - 2| = |x - 1|$. На допуск $\varepsilon = 0{,}01$ отвечаем $\delta = 0{,}01$: например, $f(1{,}005) = 2{,}005$ и $|2{,}005 - 2| < 0{,}01$. В самой точке $x = 1$ дробь не определена — а предел есть.

Отсюда законность сокращения: при $x \ne a$ дроби $\frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1}$ и $x + 1$ совпадают, а предел как раз смотрит только на $x \ne a$. Так же законно домножение на сопряжённое: оно не меняет значений функции около точки.

Первый замечательный предел $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ доказывают площадями. В единичной окружности при $0 < x < \frac\pi2$ треугольник, сектор и больший треугольник дают $\sin x < x < \operatorname{tg} x$. Разделив на $\sin x$ и перевернув, получаем $\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1$. Когда $x \to 0$, косинус стремится к единице, и дробь, зажатая между ними, — тоже. Все эквивалентности из таблицы выводятся из этого предела и из $\lim_{u \to 0}(1 + u)^{1/u} = e$.

Разобранные примеры

Пример 1. Сокращение: $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$

Подстановка даёт $\frac00$. Числитель раскладывается: $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$. Сокращаем $x - 1$ (он не ноль, пока $x \ne 1$):

$$\lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2.$$

Таблица подтверждает: $f(0{,}999) = 1{,}999$, $f(1{,}001) = 2{,}001$.

Пример 2. Сопряжённое: $\lim\limits_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + x} - x\right)$

Вид $\infty - \infty$. Домножим и разделим на $\sqrt{x^2 + x} + x$:

$$\sqrt{x^2 + x} - x = \frac{(x^2 + x) - x^2}{\sqrt{x^2 + x} + x} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + x} + x} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac1x} + 1} \to \frac{1}{1 + 1} = \frac12.$$

Ответ $\frac12$, хотя обе части разности уходят в бесконечность: при $x = 1000$ разность равна $0{,}49988$.

Пример 3. Старшая степень: $\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{3x^2 + 1}{2x^2 - x}$

Делим числитель и знаменатель на $x^2$: $\frac{3 + 1/x^2}{2 - 1/x} \to \frac{3}{2}$. Правило на будущее: при одинаковых степенях предел равен отношению старших коэффициентов; если степень числителя меньше — ноль, если больше — бесконечность.

Пример 4. Второй замечательный предел: $\lim\limits_{x \to \infty} \left(1 + \dfrac{2}{x}\right)^{3x}$

Вид $1^\infty$. Здесь $u = \frac2x \to 0$, показатель $v = 3x$, и $u \cdot v = 6$. Поэтому

$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac2x\right)^{3x} = \lim_{x \to \infty} \left(\left(1 + \frac2x\right)^{\frac{x}{2}}\right)^{6} = e^6.$$

Пример 5. Односторонние пределы: $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac1x$

Справа от нуля дробь положительна и неограниченно растёт: $\lim_{x \to 0^+} \frac1x = +\infty$. Слева она отрицательна: $\lim_{x \to 0^-} \frac1x = -\infty$. Пределы с разных сторон разные, поэтому двустороннего предела нет. Сравните с $\frac{1}{x^2}$: там с обеих сторон $+\infty$, и пишут $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = +\infty$.

Типичные ошибки

«$\frac00 = 1$», «$1^\infty = 1$», «$\infty - \infty = 0$». Это не числа, а сигналы: «нужно преобразовать». $\frac{\sin x}{x} \to 1$, но $\frac{\sin 2x}{x} \to 2$ и $\frac{\sin x}{x^2}$ вообще не имеет конечного предела — вид у всех один и тот же.
Эквивалентные в сумме. В $\frac{\operatorname{tg} x - \sin x}{x^3}$ нельзя заменить $\operatorname{tg} x$ и $\sin x$ на $x$: получится $\frac{0}{x^3} = 0$, а правильный ответ $\frac12$. Сначала $\operatorname{tg} x - \sin x = \operatorname{tg} x\,(1 - \cos x)$, и только потом эквивалентности для множителей: $x \cdot \frac{x^2}{2}$.
Лопиталь без неопределённости. $\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{x + 1} = 1$, а «по Лопиталю» вышло бы $\frac{-\sin 0}{1} = 0$. Правило работает только для $\frac00$ и $\frac\infty\infty$.
Предел путают со значением. Предел $\frac{x^2 - 1}{x - 1}$ при $x \to 1$ равен $2$, хотя в самой точке дробь не определена.
Забывают про стороны. $\lim_{x \to 0} e^{1/x}$ не существует: слева он $0$, справа $+\infty$. Ответ «бесконечность» неверен.
При $x \to -\infty$ теряют знак у корня. $\sqrt{x^2} = |x| = -x$ для отрицательных $x$; поэтому $\lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x} = -1$, а не $1$.

Что ещё посмотреть

Определение предела как игры «ты мне $\varepsilon$ — я тебе $\delta$», доказательство первого замечательного предела и галерею разрывов разбирает глава «Пределы»: правила игры, синус под микроскопом, виды разрывов. Число $e$ как предел $(1 + \frac1n)^n$ — в главе о числе e. Через пределы определяются производная и несобственный интеграл, а асимптоты графика ищут в исследовании функции. Потренироваться — в тренажёре пределов.