This chapter hasn’t been translated into English yet, so here is the Russian original. Your browser can translate the page; the formulas and widgets work the same. Back to the English contents →

Решатель

Интеграл онлайн: решение по шагам с проверкой

Неопределённые и определённые интегралы, несобственные интегралы и площади фигур. Решатель подберёт метод — таблицу, замену, интегрирование по частям, простейшие дроби, — объяснит каждый шаг и проверит ответ дифференцированием.

Примеры: ∫ x^2 sin x dx ∫ dx/(x^2 - 1) ∫ sin^3 x dx ∫ x/(x^4 + 1) dx ∫_0^1 x e^x dx ∫_1^∞ dx/x^2 ∫ e^(x^2) dx площадь между y = x^2 и y = x

Загружаем решатель…

Что можно ввести

Неопределённый интеграл пишут со знаком и дифференциалом, ∫ x^2 sin x dx, или просто функцией, x^2 sin x. Слово int заменяет знак $\int$, дифференциал подсказывает переменную: ∫ t e^t dt интегрируется по $t$. Дробь с дифференциалом в числителе тоже понятна: ∫ dx/(1 + x^2).

Определённый интеграл — с пределами через подчёркивание и крышку, ∫_0^1 x^2 dx, ∫_{0}^{π/2} sin x dx, или словами: «x^2 от 0 до 1», «∫ ln x dx на [1; e]». Пределы могут быть бесконечными: ∫_1^∞ dx/x^2, «от -∞ до +∞». Площадь фигуры задаётся линиями: «площадь между y = x^2 и y = x», «площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^2, x = 1, x = 3, y = 0», «y = 4 - x^2 и осью Ox».

Как искать первообразную

Дифференцировать можно механически, по правилам. С интегралом так не выйдет: единого алгоритма для «школьных» функций нет, есть набор приёмов, и нужно узнать, какой подходит. Разумно пробовать их в таком порядке.

1. Табличный интеграл и линейность. Сумма интегрируется по слагаемым, постоянный множитель выносится. Многочлены, корни, $\frac1x$, экспоненты, синусы и косинусы берутся по таблице:

Функция	Первообразная
$x^n,\ n \ne -1$	$\dfrac{x^{n+1}}{n + 1}$
$\dfrac1x$	$\ln\lvert x\rvert$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$\dfrac{a^x}{\ln a}$
$\dfrac{1}{x^2 - a^2}$	$\dfrac{1}{2a}\ln\left\lvert\dfrac{x - a}{x + a}\right\rvert$
$\sin x$	$-\cos x$
$\cos x$	$\sin x$
$\dfrac{1}{\cos^2 x}$	$\operatorname{tg} x$
$\dfrac{1}{1 + x^2}$	$\operatorname{arctg} x$
$\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$	$\arcsin x$

2. Замена переменной. Если рядом с функцией от $u$ стоит производная этого $u$, замена $t = u$ делает интеграл табличным: в $\int \frac{x\,dx}{x^2 + 1}$ множитель $x\,dx$ — это половина $d(x^2 + 1)$, и ответ $\frac12 \ln(x^2 + 1) + C$.

3. Интегрирование по частям, $\int u\,dv = uv - \int v\,du$, — для произведений вида «многочлен на экспоненту, синус или косинус» (за $u$ берут многочлен, он упрощается при дифференцировании) и для логарифмов и обратных тригонометрических функций (за $u$ берут их).

4. Рациональные дроби раскладывают на простейшие: $\frac{1}{x^2 - 1} = \frac12\left(\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}\right)$, и каждая берётся через логарифм или арктангенс.

5. Тригонометрия: нечётная степень синуса или косинуса — замена $t = \cos x$ или $t = \sin x$; чётные степени понижают формулами двойного угла; в крайнем случае помогает универсальная замена $t = \operatorname{tg}\frac{x}{2}$.

После любого приёма ответ проверяют дифференцированием: производная найденной функции обязана совпасть с подынтегральной. Решатель делает эту проверку дважды — по формулам и численно, в трёх точках.

Почему интеграл — это площадь

Определённый интеграл $\int_a^b f(x)\,dx$ — площадь под графиком, сложенная из тонких полосок: разбиваем отрезок на $n$ частей, на каждой строим прямоугольник высотой $f(x_i)$ и складываем. При измельчении суммы стремятся к одному числу. Считать его через суммы долго; основная теорема анализа даёт короткий путь.

Пределы интегрирования: начало и конец отрезка на оси $Ox$.

Значения первообразной на концах. Любая первообразная подходит: постоянная $C$ всё равно сократится при вычитании.

Пример: $\int_0^1 x^2\,dx$. Суммы для 10 полосок дают $0{,}285$ (левые концы), $0{,}385$ (правые) и $0{,}3325$ (середины), для тысячи полосок — уже $0{,}3328$, $0{,}3338$ и $0{,}33333$. А формула сразу даёт точный ответ: $F(x) = \frac{x^3}{3}$, $F(1) - F(0) = \frac13$.

Почему это верно? Обозначим $S(x)$ площадь под графиком от $a$ до $x$. Если сдвинуть правую границу на крошечное $h$, площадь прирастёт узкой полоской шириной $h$ и высотой почти $f(x)$, то есть $S(x + h) - S(x) \approx f(x)\,h$. Значит, $S'(x) = f(x)$: накопленная площадь — первообразная. Две первообразные отличаются на постоянную, а $S(a) = 0$, поэтому $S(b) = F(b) - F(a)$.

Отсюда и осторожность. Формула требует, чтобы $f$ была непрерывна на всём отрезке. Если внутри есть точка, где функция уходит в бесконечность, интеграл несобственный: его разбивают в этой точке и каждую часть считают как предел. Так же поступают с бесконечными пределами: $\int_1^{\infty} \frac{dx}{x^2} = \lim_{b \to \infty}\left(1 - \frac1b\right) = 1$.

Разобранные примеры

Пример 1. По частям дважды: $\int x^2 \sin x\,dx$

Берём $u = x^2$, $dv = \sin x\,dx$, тогда $du = 2x\,dx$, $v = -\cos x$:

$$\int x^2 \sin x\,dx = -x^2 \cos x + 2\int x\cos x\,dx.$$

Оставшийся интеграл снова по частям, с $u = x$: $\int x \cos x\,dx = x \sin x + \cos x$. Итог:

$$\int x^2 \sin x\,dx = 2x\sin x - (x^2 - 2)\cos x + C.$$

Проверка: $(2x\sin x)' = 2\sin x + 2x\cos x$, $\bigl(-(x^2 - 2)\cos x\bigr)' = -2x\cos x + (x^2 - 2)\sin x$; сумма равна $x^2 \sin x$.

Пример 2. Простейшие дроби: $\int \dfrac{dx}{x^2 - 1}$

Знаменатель раскладывается: $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$. Ищем $\frac{1}{x^2 - 1} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1}$; приводя к общему знаменателю, получаем $A(x + 1) + B(x - 1) = 1$, откуда при $x = 1$ имеем $A = \frac12$, при $x = -1$ — $B = -\frac12$. Каждая дробь даёт логарифм:

$$\int \frac{dx}{x^2 - 1} = \frac12 \ln\lvert x - 1\rvert - \frac12 \ln\lvert x + 1\rvert + C = \frac12 \ln\left\lvert\frac{x - 1}{x + 1}\right\rvert + C.$$

Пример 3. Нечётная степень синуса: $\int \sin^3 x\,dx$

Отщепим один синус: $\sin^3 x = (1 - \cos^2 x)\sin x$, а $\sin x\,dx = -d(\cos x)$. После замены $t = \cos x$:

$$\int \sin^3 x\,dx = -\int (1 - t^2)\,dt = -t + \frac{t^3}{3} + C = \frac{\cos^3 x}{3} - \cos x + C.$$

Пример 4. Определённый интеграл и площадь

$\int_0^1 x e^x\,dx$: по частям первообразная равна $F(x) = e^x(x - 1)$, и $F(1) - F(0) = 0 - (-1) = 1$.

Площадь между $y = x^2$ и $y = x$: графики пересекаются там, где $x^2 = x$, то есть при $x = 0$ и $x = 1$. Между ними выше прямая (при $x = \frac12$ имеем $\frac12 > \frac14$), поэтому

$$S = \int_0^1 (x - x^2)\,dx = \left.\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right|_0^1 = \frac12 - \frac13 = \frac16.$$

Типичные ошибки

Забыли $+\,C$. Первообразных бесконечно много, все отличаются на постоянную. Ответ без $C$ — одна из них, а спрашивают про все.
Интеграл произведения как произведение интегралов. $\int x \cos x\,dx \ne \frac{x^2}{2}\sin x$ — проверьте дифференцированием, и лишний член вылезет сразу. Для произведений есть интегрирование по частям.
$\ln x$ вместо $\ln\lvert x\rvert$. Функция $\frac1x$ определена и при $x < 0$, а $\ln x$ — нет. Модуль нужен.
Замена без замены дифференциала. В $\int \sin 3x\,dx$ после $t = 3x$ надо заменить и $dx = \frac{dt}{3}$; ответ $-\frac13 \cos 3x + C$, а не $-\cos 3x + C$. В определённом интеграле при замене пересчитывают и пределы.
Ньютон — Лейбниц через разрыв. «Вычисление» $\int_{-1}^{1} \frac{dx}{x^2} = \left[-\frac1x\right]_{-1}^{1} = -2$ бессмысленно: положительная функция не может дать отрицательную площадь. В нуле функция бесконечна, и интеграл расходится.
Площадь, которая «съелась». $\int_0^{2\pi} \sin x\,dx = 0$, но площадь под синусоидой равна $4$: часть под осью нужно брать с минусом.
Выдуманная первообразная. $\int e^{x^2}dx \ne \frac{e^{x^2}}{2x}$: производная этой дроби не $e^{x^2}$. Такой интеграл не выражается через элементарные функции; решатель скажет об этом прямо и посчитает определённый интеграл численно.

Что ещё посмотреть

Как интеграл вырос из квадратуры параболы Архимеда и сумм Римана и почему площадь связана с касательной, рассказывает глава «Интеграл»; там же приёмы интегрирования и труба Торричелли — несобственный интеграл с конечным объёмом и бесконечной площадью. Проверить первообразную можно решателем производных, а несобственные интегралы сводятся к пределам. Интегралы — главный инструмент решения дифференциальных уравнений. Тренировать технику — в тренажёре первообразных.