This chapter hasn’t been translated into English yet, so here is the Russian original. Your browser can translate the page; the formulas and widgets work the same. Back to the English contents →

Решатель

Решение показательных и логарифмических уравнений онлайн

Введите уравнение или неравенство со степенями и логарифмами — решатель найдёт ОДЗ, выберет способ, объяснит каждый шаг и отсеет посторонние корни.

Примеры: 4^x - 3*2^x + 2 = 0 3^(2x-1) = 27 2^x = 5 log_2(x+1) + log_2(x-1) = 3 lg^2 x - 3lg x + 2 = 0 x^(lg x) = 100x log_(1/2)(x-1) >= -2

Загружаем решатель…

Что можно ввести

Степень пишется через крышку: 2^(x+1), 4^x - 3*2^x + 2 = 0; показатель из нескольких символов берите в скобки. Логарифм по основанию $a$ — log_a(…): log_2(x - 1), log_(1/3)(x). Десятичный логарифм — lg, натуральный — ln, квадрат логарифма — lg^2 x. Число $e$ так и пишется: e^(2x). Вместо знака равенства можно поставить неравенство: 2^x > 8, log_2(x) <= 3.

Решатель сам понимает, какой перед ним случай, и выбирает приём: одно основание, логарифмирование, замену переменной, вынесение общего множителя, переход к одному основанию логарифмов. Если точного приёма нет — как у $2^x = x + 1$ — корни ищутся численно, и тогда решатель честно пишет, что ответ приближённый. Впрочем, для этого уравнения он заметит, что приближённые корни подозрительно похожи на $0$ и $1$, подставит их точно и убедится, что это и есть ответ.

Показательные уравнения: всё сводится к одному основанию

Показательная функция $y = a^x$ при $a > 0$, $a \ne 1$ строго монотонна: при $a > 1$ растёт, при $0 < a < 1$ убывает. Поэтому каждое своё значение она принимает ровно один раз, и из $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ следует $f(x) = g(x)$. На этом держится почти всё.

Приводим к одному основанию. $3^{2x - 1} = 27$ — это $3^{2x - 1} = 3^3$, значит, $2x - 1 = 3$ и $x = 2$. Так же $4^x = 8$ превращается в $2^{2x} = 2^3$ и $x = \frac{3}{2}$.
Если основание не подобрать — логарифмируем. $2^x = 5$: число $5$ не степень двойки с рациональным показателем, и ответ записывают логарифмом, $x = \log_2 5 \approx 2{,}3219$.
Замена переменной. Если в уравнении есть $a^{2x}$ и $a^x$, обозначаем $t = a^x$ и помним, что $t > 0$. Уравнение становится квадратным.
Общий множитель. $2^{x+1} + 2^x = 12$: выносим $2^x$ и получаем $2^x \cdot 3 = 12$, $2^x = 4$, $x = 2$.
Разные основания с одинаковым показателем. $3^x = 2^x$ делим на $2^x$ (он никогда не равен нулю): $\left(\frac{3}{2}\right)^x = 1$, откуда $x = 0$.

Корней может не быть вовсе: $2^x = -4$ решений не имеет, ведь степень положительного числа всегда положительна.

Логарифмические уравнения: сначала ОДЗ

Логарифм определён, только когда под ним положительное число, а основание положительно и не равно единице. Эти условия — область допустимых значений — выписывают первыми, до всяких преобразований. Дальше приёмы зеркальны показательным.

По определению. $\log_2 x = 3$ означает $x = 2^3 = 8$.
Логарифмы с одним основанием. Из $\lg(x + 1) = \lg(2x - 3)$ следует $x + 1 = 2x - 3$, то есть $x = 4$ — и проверка по ОДЗ: $x + 1 = 5 > 0$, $2x - 3 = 5 > 0$.
Сумму логарифмов собираем в один по формуле $\log_a m + \log_a n = \log_a(mn)$, разность — в логарифм частного, множитель вносим в степень.
Замена $t = \log_a x$, когда логарифм входит в квадрат: $\lg^2 x - 3\lg x + 2 = 0$ даёт $t^2 - 3t + 2 = 0$, $t = 1$ или $t = 2$, и $x = 10$ или $x = 100$.
Разные основания приводим к одному: $\log_4 x = \frac{\log_2 x}{\log_2 4} = \frac{1}{2}\log_2 x$.

Почему это работает

Показательное и логарифмическое уравнения — два взгляда на одно и то же равенство. Логарифм отвечает на вопрос «в какую степень нужно возвести основание, чтобы получить число». Поэтому любое показательное уравнение вида $a^{f(x)} = b$ одним движением превращается в уравнение без степеней, а логарифмическое — наоборот.

Основание: $a > 0$, $a \ne 1$. При $a = 1$ любая степень равна единице, и вопрос «в какую степень возвести» теряет смысл.

Показатель — любое действительное число.

Число под логарифмом обязано быть положительным: $a^x > 0$ при любом $x$, поэтому логарифма нуля или отрицательного числа нет.

Пример: $2^x = 5 \Leftrightarrow x = \log_2 5$. Так как $2^2 = 4 < 5 < 8 = 2^3$, корень лежит между $2$ и $3$; точнее, $\log_2 5 = \frac{\ln 5}{\ln 2} \approx 2{,}3219$, и $2^{2{,}3219} \approx 5{,}0000$.

Откуда берутся посторонние корни. Свойство $\log_a m + \log_a n = \log_a(mn)$ верно, только когда $m > 0$ и $n > 0$. Но выражение $\log_a(mn)$ определено ещё и тогда, когда $m$ и $n$ оба отрицательны. После того как логарифмы собраны в один, область допустимых значений незаметно расширяется, и в ответе могут появиться числа, при которых исходное уравнение не имело смысла. Поэтому каждый найденный корень сверяют с ОДЗ, а надёжнее всего — подставляют в исходное уравнение. Решатель делает и то и другое и помечает посторонние корни на графике красным кружком.

С неравенствами добавляется ещё одно правило. Если основание больше единицы, функции $a^x$ и $\log_a x$ растут, и знак неравенства сохраняется. Если основание от нуля до единицы, они убывают, и знак меняется на противоположный.

Когда точного метода нет

Уравнения вроде $\ln x = x - 2$ или $2^x = x + 1$ смешивают логарифм или степень с многочленом, и никакими преобразованиями их к одному основанию не свести. Корни таких уравнений, как правило, не выражаются формулой, и это не недостаток решателя: так устроена сама задача. Тогда помогает картинка. Графики $y = \ln x$ и $y = x - 2$ пересекаются дважды — значит, корней два, и примерно видно где: около $0{,}16$ и около $3{,}15$.

Дальше корни уточняют численно: берут отрезок, на концах которого разность частей уравнения разных знаков, и сжимают его, пока знаки после запятой не перестанут меняться. Так решатель получает $x_1 \approx 0{,}1586$ и $x_2 \approx 3{,}1462$. Проверка тоже численная: при $x \approx 3{,}1462$ обе части равны примерно $1{,}1462$. Иногда приближённый корень оказывается «круглым» — у $2^x = x + 1$ это $0$ и $1$. Тогда решатель подставляет эти числа точно и, если равенство выполняется, записывает их в ответ без знака «$\approx$».

Разобранные примеры

Пример 1. Замена: $4^x - 3 \cdot 2^x + 2 = 0$

$4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$. Обозначим $t = 2^x$, где $t > 0$: получаем $t^2 - 3t + 2 = 0$, откуда $t = 1$ или $t = 2$. Оба значения положительны. $2^x = 1$ даёт $x = 0$, $2^x = 2$ даёт $x = 1$.

Проверка: $4^0 - 3 \cdot 2^0 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$ и $4 - 6 + 2 = 0$. Ответ: $x = 0$, $x = 1$. Если бы у квадратного уравнения нашёлся отрицательный корень, его пришлось бы отбросить: $2^x$ отрицательным не бывает.

Пример 2. Посторонний корень: $\log_2(x + 1) + \log_2(x - 1) = 3$

ОДЗ: $x + 1 > 0$ и $x - 1 > 0$, то есть $x > 1$. Собираем логарифмы: $\log_2\big((x + 1)(x - 1)\big) = 3$, значит, $x^2 - 1 = 8$ и $x = \pm 3$.

Корень $x = -3$ в ОДЗ не входит: при нём под обоими логарифмами отрицательные числа. Остаётся $x = 3$, и проверка $\log_2 4 + \log_2 2 = 2 + 1 = 3$ сходится. Ответ: $x = 3$.

Пример 3. Неизвестная в основании и в показателе: $x^{\lg x} = 100x$

Обе части положительны при $x > 0$, поэтому их можно прологарифмировать по основанию $10$: $\lg\left(x^{\lg x}\right) = \lg(100x)$, то есть $\lg x \cdot \lg x = 2 + \lg x$. Замена $t = \lg x$ даёт $t^2 - t - 2 = 0$, $t = 2$ или $t = -1$, и $x = 100$ или $x = 0{,}1$.

Проверка: $100^{\lg 100} = 100^2 = 10\,000 = 100 \cdot 100$ и $0{,}1^{\lg 0{,}1} = 0{,}1^{-1} = 10 = 100 \cdot 0{,}1$. Ответ: $x = 0{,}1$, $x = 100$.

Пример 4. Неравенство с основанием меньше единицы: $\log_{1/2}(x - 1) \ge -2$

ОДЗ: $x > 1$. Запишем правую часть как логарифм: $-2 = \log_{1/2} 4$. Основание $\frac{1}{2} < 1$, функция убывает, поэтому знак меняется: $x - 1 \le 4$, $x \le 5$. С учётом ОДЗ ответ: $x \in (1;\ 5]$. Проверка точкой из ответа: при $x = 3$ получаем $\log_{1/2} 2 = -1 \ge -2$ — верно.

Типичные ошибки

Забывают про $t > 0$. После замены $t = a^x$ отрицательные и нулевые значения $t$ отбрасываются: уравнение $2^x = -1$ корней не имеет.
Не выписывают ОДЗ и оставляют в ответе посторонний корень, как $x = -3$ во втором примере.
Не меняют знак неравенства, когда основание меньше единицы.
Придумывают свойства, которых нет. $\log_a(m + n) \ne \log_a m + \log_a n$, $2^x \cdot 2^x = 4^x$, а не $2^{x^2}$, и $\frac{\log_a m}{\log_a n} \ne \log_a \frac{m}{n}$.
Сокращают на выражение с неизвестной. Из $x \cdot 3^x = 3^x$ можно поделить на $3^x$ (оно не бывает нулём) и получить $x = 1$, а вот делить обе части на $x$ в похожих местах нельзя — так теряются корни.
Путают $\lg$ и $\ln$. $\lg$ — по основанию $10$, $\ln$ — по основанию $e \approx 2{,}718$.

Что ещё посмотреть

Откуда взялись логарифмы, почему $a^0 = 1$ и как логарифмическая линейка умножает сложением длин — в главе о степенях и логарифмах. Число $e$, натуральный логарифм, рост и распад — в главе «Число e и экспонента». После замены часто получается квадратное уравнение — его подробно разберёт решатель квадратных уравнений. Неравенства с многочленами и дробями решает решатель неравенств методом интервалов, а уравнения с синусами и косинусами — решатель тригонометрических уравнений.