Тригонометрия

Прошлая глава кончилась на Эвересте: его высоту вычислили в 1856 году, почти за сто лет до того, как на вершину впервые поднялись люди. Геодезисты не подходили к горе, не бросали вниз верёвку и не ставили рейку. Они измеряли только углы — и получили $8840$ м, всего на девять метров меньше, чем дают сегодняшние измерения.

В этой главе мы пройдём тот же путь сами — как экспедиция землемеров. Снаряжение скромное: шест, рулетка и угломер, прибор, которым отсчитывают угол между двумя направлениями. Сначала шест и его тень научат нас переводить углы в числа. Потом мы измерим, не переправляясь, ширину реки, высоту горы, а в конце — размер всей Земли, как это сделал Эратосфен больше двух тысяч лет назад.

Шест и тень

Первая стоянка — ровная площадка на солнце. Воткнём шест и измерим его тень. Рядом стоит дерево, до верхушки не дотянуться, но тень его на земле, и её можно измерить рулеткой. В главе 17 Фалес мерил так пирамиду: солнечные лучи параллельны, поэтому шест с тенью и дерево с тенью образуют подобные прямоугольные треугольники, и высота дерева во столько же раз больше высоты шеста, во сколько его тень длиннее.

Заметим в этом рассуждении главное. Отношение «высота : тень» у всех предметов одно и то же в один и тот же момент, и зависит оно только от того, насколько высоко стоит Солнце, то есть от угла наклона лучей. Значит, это отношение можно посчитать один раз для каждого угла и записать в таблицу. Потом шест не понадобится: достаточно измерить угол.

Все прямоугольные треугольники с одним и тем же острым углом подобны друг другу.

Поставим несколько шестов разной высоты вдоль одного луча, выходящего из точки $A$ под углом $\alpha$ к земле: вершина каждого шеста лежит на луче. Каждый шест вместе со своим куском земли и куском луча образует прямоугольный треугольник. У всех этих треугольников угол при $A$ равен $\alpha$, а угол у основания шеста прямой. Два угла одного треугольника равны двум углам другого, значит, по признаку подобия (глава 17) треугольники подобны. У подобных треугольников соответственные стороны пропорциональны: если все стороны второго в $k$ раз длиннее сторон первого, то отношение шеста к гипотенузе у второго равно $\frac{k \cdot a}{k \cdot c} = \frac ac$. Числа на рисунке это подтверждают. Отношение противолежащего катета к гипотенузе — одно число для всех треугольников с углом $\alpha$. Оно зависит только от угла. То же рассуждение годится для любой пары сторон.

Раз отношения зависят только от угла, их можно считать свойствами самого угла и дать им имена.

Катет, противолежащий углу $\alpha$: тот, что не касается вершины угла. У шеста — сам шест. Катет, прилежащий к углу: вторая сторона угла, кроме гипотенузы. У шеста — тень. Гипотенуза — самая длинная сторона, поэтому синус и косинус острого угла меньше единицы. Тангенс может быть любым положительным числом. Пример: в египетском треугольнике $3$, $4$, $5$ у меньшего острого угла $\sin\alpha = \frac35 = 0{,}6$, $\cos\alpha = \frac45 = 0{,}8$, $\operatorname{tg}\alpha = \frac34 = 0{,}75$; сам угол около $36{,}87^\circ$. В английских и многих других книгах тангенс пишут $\tan$, котангенс — $\cot$.

Теперь дерево можно измерить без тени. Отойдём от него на $30$ м и увидим верхушку под углом $35^\circ$ к горизонту. Тангенс $35^\circ$ из таблицы (или калькулятора) примерно равен $0{,}700$, поэтому верхушка выше уровня глаз на $30 \cdot 0{,}700 \approx 21{,}0$ м. Прибавим рост угломера над землёй, скажем $1{,}6$ м, — и получим дерево высотой около $22{,}6$ м.

Лестница длиной $5$ м стоит под углом $70^\circ$ к земле. На какой высоте её верхний конец касается стены? Возьмите $\sin 70^\circ \approx 0{,}94$.

Лестница — гипотенуза, высота — катет, противолежащий углу $70^\circ$. Поэтому $h = 5 \cdot \sin 70^\circ \approx 5 \cdot 0{,}94 = 4{,}7$ м.

Три угла, которые помнят наизусть

Для большинства углов синус — иррациональное число, которое берут из таблиц. Но для $30^\circ$, $45^\circ$ и $60^\circ$ значения можно найти точно, из двух знакомых фигур: половинки квадрата и половинки равностороннего треугольника.

Нужны прямоугольные треугольники с такими углами, у которых стороны мы знаем точно.

Разрежем квадрат со стороной $1$ диагональю. Получится прямоугольный треугольник с катетами $1$ и $1$; его острые углы равны (треугольник равнобедренный) и вместе дают $90^\circ$, значит, каждый равен $45^\circ$. Гипотенуза по теореме Пифагора равна $\sqrt{1 + 1} = \sqrt2$. В равностороннем треугольнике со стороной $2$ все углы по $60^\circ$. Высота делит его на два прямоугольных треугольника: гипотенуза $2$, меньший катет — половина стороны, $1$, угол напротив него — половина $60^\circ$, то есть $30^\circ$. Второй катет — высота: $\sqrt{4 - 1} = \sqrt3$. Делим стороны. В первом треугольнике $\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{2}$. Во втором против угла $30^\circ$ лежит катет $1$, против $60^\circ$ — катет $\sqrt3$: $\sin 30^\circ = \frac12$, $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt3}{2}$, $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt3}{2}$, $\cos 60^\circ = \frac12$. Получились все значения из теоремы. Тангенсы — их частные: $\operatorname{tg} 30^\circ = \frac{1}{\sqrt3} = \frac{\sqrt3}{3}$, $\operatorname{tg} 45^\circ = 1$, $\operatorname{tg} 60^\circ = \sqrt3$.

Столбцы для $0^\circ$ и $90^\circ$ — предельные случаи: если острый угол сжимать к нулю, противолежащий катет исчезает, а прилежащий сравнивается с гипотенузой. Строгий смысл им придаст единичная окружность из следующего раздела. Строчку синусов удобно запоминать как $\frac{\sqrt0}{2}, \frac{\sqrt1}{2}, \frac{\sqrt2}{2}, \frac{\sqrt3}{2}, \frac{\sqrt4}{2}$, а косинусы — та же строчка задом наперёд.

Угол $60^\circ$ вдвое больше угла $30^\circ$. Во сколько раз $\sin 60^\circ$ больше $\sin 30^\circ$?

Ровно вдвое В $\sqrt3 \approx 1{,}73$ раза В $1{,}5$ раза Они равны

$\sin 60^\circ : \sin 30^\circ = \frac{\sqrt3}{2} : \frac12 = \sqrt3$. Синус растёт медленнее угла и к $90^\circ$ совсем замедляется: от $60^\circ$ до $90^\circ$ он прибавляет всего $1 - 0{,}866 \approx 0{,}13$.

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна $10$, один из острых углов — $30^\circ$. Найдите катет, прилежащий к этому углу. Ответ можно записать с корнем, например 5sqrt(3).

Прилежащий катет $b = c\cos 30^\circ = 10 \cdot \frac{\sqrt3}{2} = 5\sqrt3 \approx 8{,}66$. Противолежащий равен $10 \cdot \frac12 = 5$, и по теореме Пифагора $25 + 75 = 100$.

Угол больше прямого

Треугольник с острыми углами — хорошая стоянка, но экспедиции придётся идти дальше. У реки или горы треугольник наблюдений бывает тупоугольным, и нам понадобится косинус угла в $120^\circ$. А прямоугольного треугольника с углом $120^\circ$ не бывает. Колесо, стрелка часов, Земля вокруг оси поворачиваются на углы, которые больше $180^\circ$ и даже больше $360^\circ$. Нужно определение, которое работает для любых углов.

Для острого угла новое определение совпадает со старым. Опустим из $P_\alpha$ перпендикуляр на ось абсцисс: получится прямоугольный треугольник с гипотенузой $1$, катеты которого — как раз координаты точки. Синус «катет, делённый на гипотенузу» превращается в «катет, делённый на единицу», то есть в ординату. Но теперь угол может быть любым, а координаты — и отрицательными: у угла $120^\circ$ точка $P$ лежит левее оси ординат, и $\cos 120^\circ = -\frac12$.

Углы здесь удобно измерять в радианах: радианная мера угла — это длина дуги единичной окружности от точки $(1;\,0)$ до $P_\alpha$. Полный оборот — $2\pi$, прямой угол — $\frac\pi2$. Виджет ниже показывает всё сразу: точку на окружности, её координаты и графики, которые получаются, если откладывать по горизонтали пройденную дугу, а по вертикали — синус, косинус или тангенс.

У синусоиды нет ничего «своего»: это тень точки, бегущей по окружности, развёрнутая во времени. Косинус — та же тень, только снятая сбоку, поэтому его график — синусоида, сдвинутая на четверть оборота. Тангенс — отрезок на касательной к окружности в точке $(1;\,0)$, от этой точки до луча $OP$; когда луч становится вертикальным, отрезок уходит в бесконечность.

Это теорема Пифагора для треугольника, спрятанного в единичной окружности.

Точка $P_\alpha$ имеет координаты $(\cos\alpha;\,\sin\alpha)$ и лежит на окружности радиуса $1$. Опустим из неё перпендикуляр на ось абсцисс. Получится прямоугольный треугольник с вершиной в центре: катеты — $|\cos\alpha|$ и $|\sin\alpha|$ (длины не бывают отрицательными), гипотенуза — радиус, $1$. Если $P$ лежит на оси, треугольник вырождается, но равенство ниже проверяется прямо: например, $\cos^2 0 + \sin^2 0 = 1 + 0$. По теореме Пифагора $|\cos\alpha|^2 + |\sin\alpha|^2 = 1^2$. Квадрат модуля равен квадрату самого числа, поэтому знаки не мешают. $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ в любой четверти. Двигайте точку: треугольник меняется, сумма квадратов — нет.

Из тождества по одному значению находится другое. Если $\sin\alpha = \frac35$ и угол острый, то $\cos\alpha = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \frac45$. Если угол тупой, то точка $P$ левее оси ординат, и $\cos\alpha = -\frac45$: знак подсказывает четверть, в которой лежит точка.

Окружность симметрична, и каждая её симметрия превращается в формулу. Вот три, которые понадобятся в экспедиции.

Каждая формула — отражение точки $P_\alpha$ в одной из трёх прямых.

Отразим $P_\alpha$ в оси ординат. Отражение сохраняет расстояния, поэтому образ тоже лежит на окружности, а угол от луча $Ox$ до него равен $180^\circ - \alpha$: угол, который луч $OP_\alpha$ образует с осью $Ox$, при отражении становится таким же углом с противоположным лучом. Ордината при таком отражении сохраняется, абсцисса меняет знак: $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$, $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha$. Отразим $P_\alpha$ в оси абсцисс — получится точка, повёрнутая на $-\alpha$: поворот на тот же угол, но по часовой стрелке. Абсцисса сохраняется, ордината меняет знак: $\cos(-\alpha) = \cos\alpha$, $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$. Отразим $P_\alpha$ в биссектрисе первого угла, прямой $y = x$. Это отражение меняет координаты местами, а угол от $Ox$ превращает в угол от $Oy$, то есть в $90^\circ - \alpha$ от $Ox$. Значит, $\cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha$ и $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha$. Все шесть формул доказаны для любого положения точки: двигайте $P$ по всей окружности.

Третья пара объясняет само слово «косинус»: это синус дополнительного угла, complementi sinus, — дополняющего $\alpha$ до прямого. А первая пара пригодится у реки: у тупого угла синус тот же, что у острого смежного с ним.

Ещё одно следствие видно в виджете, если отпустить точку бежать. Повернувшись на полный оборот, точка возвращается туда же, откуда вышла, поэтому $\sin(\alpha + 2\pi) = \sin\alpha$ и $\cos(\alpha + 2\pi) = \cos\alpha$, и график повторяется.

Какое число больше: $\sin 1$ или $\sin 2$? Углы — в радианах.

$\sin 2$ $\sin 1$ Они равны $\sin 2$ отрицателен

$1$ радиан — около $57{,}3^\circ$, а $2$ радиана — около $114{,}6^\circ$. Синус второго угла равен синусу смежного с ним, $180^\circ - 114{,}6^\circ = 65{,}4^\circ$, а этот угол ближе к $90^\circ$, чем $57{,}3^\circ$. Поэтому $\sin 2 \approx 0{,}909 > \sin 1 \approx 0{,}841$.

Два поворота подряд

Таблица знает $30^\circ$ и $45^\circ$, а что делать с $75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$? Складывать синусы нельзя: иначе $\sin 90^\circ$ был бы равен $\sin 45^\circ + \sin 45^\circ \approx 1{,}41$, а синус не бывает больше единицы. Правильный ответ даёт та же окружность: поворот на $\alpha + \beta$ — это поворот на $\beta$, а потом ещё на $\alpha$.

Хитрость в том, чтобы повернуть не одну точку, а всю картинку вместе с осями.

Возьмём единичные стрелки $e_1$ и $e_2$ вдоль осей и точку $P_\beta$ на окружности. Чтобы попасть в неё из центра, можно пройти $\cos\beta$ вдоль $e_1$ и затем $\sin\beta$ вдоль $e_2$: это её координаты (если какая-то из них отрицательна, идём в обратную сторону). Повернём всю картинку на угол $\alpha$. Точка $P_\beta$ перейдёт в $P_{\alpha + \beta}$ — два поворота подряд складываются. Стрелка $e_1$ перейдёт в $e_1' = P_\alpha = (\cos\alpha;\,\sin\alpha)$. Стрелка $e_2 = P_{90^\circ}$ перейдёт в $P_{90^\circ + \alpha}$, а её координаты дают формулы приведения, применённые дважды: $\cos(90^\circ + \alpha) = \sin(-\alpha) = -\sin\alpha$ и $\sin(90^\circ + \alpha) = \cos(-\alpha) = \cos\alpha$. Значит, $e_2' = (-\sin\alpha;\,\cos\alpha)$. Поворот сохраняет длины и углы, поэтому путь до новой точки — снова $\cos\beta$ вдоль $e_1'$ и $\sin\beta$ вдоль $e_2'$. Посчитаем абсциссу конца пути. Отрезок длины $\cos\beta$ вдоль $e_1'$ сдвигает нас по горизонтали на $\cos\beta \cdot \cos\alpha$, отрезок длины $\sin\beta$ вдоль $e_2'$ — на $\sin\beta \cdot (-\sin\alpha)$. Сумма — это абсцисса точки $P_{\alpha + \beta}$, то есть $\cos(\alpha + \beta)$. Так же ордината: $\cos\beta \cdot \sin\alpha + \sin\beta \cdot \cos\alpha$. Это $\sin(\alpha + \beta)$. $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$, $\ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$ — для любых углов, в том числе тупых и отрицательных.

В главе о комплексных числах те же формулы получились из умножения — и это не совпадение: умножение на комплексное число с модулем $1$ и есть поворот.

Первый угол. Второй угол. Подставив $-\beta$ и формулы приведения, получим синус разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$. Пример: $\sin 75^\circ = \sin 45^\circ\cos 30^\circ + \cos 45^\circ\sin 30^\circ = \frac{\sqrt2}{2} \cdot \frac{\sqrt3}{2} + \frac{\sqrt2}{2} \cdot \frac12 = \frac{\sqrt6 + \sqrt2}{4} \approx 0{,}9659$.

При $\beta = \alpha$ формулы превращаются в формулы двойного угла: $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$ и $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$. Их доказательство — одна подстановка в уже доказанные формулы сложения.

Найдите $\cos 15^\circ$ точно, записав $15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$. Корень записывается как sqrt(…).

$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$ (подставьте $-\beta$ в формулу сложения). Поэтому $\cos 15^\circ = \frac{\sqrt2}{2} \cdot \frac{\sqrt3}{2} + \frac{\sqrt2}{2} \cdot \frac12 = \frac{\sqrt6 + \sqrt2}{4} \approx 0{,}9659$ — столько же, сколько $\sin 75^\circ$, и это не случайно: $75^\circ = 90^\circ - 15^\circ$.

Через реку

Новая стоянка — берег реки. На том берегу стоит дерево $T$, и нужно узнать ширину реки, не переправляясь. Отмерим рулеткой вдоль своего берега базу $AB$, например $60$ м, и угломером измерим два угла: при $A$ между базой и направлением на дерево, и при $B$. Сторона и два прилежащих угла задают треугольник однозначно — это второй признак равенства треугольников (глава 17). Осталось превратить углы в длины.

Главное — найти для стороны $a$ прямоугольный треугольник, где она — катет, а гипотенуза — диаметр.

Проведём около треугольника $ABC$ описанную окружность с центром $O$ и радиусом $R$. Сторона $a = BC$ — её хорда. Проведём диаметр $BD$ через центр. Его длина $2R$. Углы $BAC$ и $BDC$ вписанные и опираются на одну хорду $BC$. По теореме о вписанном угле каждый равен половине дуги, на которую опирается. Если $A$ и $D$ лежат по одну сторону от $BC$, дуга одна и та же, и $\angle BDC = \angle A$. Если по разные — дуги дополняют друг друга до полной окружности, и $\angle BDC = 180^\circ - \angle A$. Синусы у этих углов в обоих случаях одинаковые по формуле приведения. Угол $BCD$ опирается на диаметр, поэтому он прямой (теорема Фалеса). В прямоугольном треугольнике $BCD$ сторона $BC$ — катет, противолежащий углу $D$, а гипотенуза — $BD = 2R$. По определению синуса $a = 2R\sin D = 2R\sin A$. (Если $C$ совпала с $D$, то $a$ — сам диаметр, угол $A$ прямой, и $a = 2R = 2R\sin 90^\circ$.) $\frac{a}{\sin A} = 2R$. Для сторон $b$ и $c$ рассуждение то же, только диаметр проводится из другой вершины. Все три отношения равны одному числу $2R$. Любая сторона треугольника. Угол, противолежащий этой стороне. Для тупого угла синус тот же, что у смежного острого. Диаметр описанной окружности — общий для всех трёх сторон. Пример у реки: $AB = 60$ м, $\angle A = 66^\circ$, $\angle B = 73^\circ$. Угол при дереве $180^\circ - 66^\circ - 73^\circ = 41^\circ$, поэтому $AT = \frac{60\sin 73^\circ}{\sin 41^\circ} \approx 87{,}5$ м, а ширина реки — высота треугольника из $T$ — равна $AT\sin 66^\circ \approx 79{,}9$ м.

Виджет объясняет главное правило землемеров. Если база короткая, а дерево далеко, углы при $A$ и $B$ близки к $90^\circ$, а угол при $T$ — крошечный. Такой треугольник «тонкий», и ошибка угломера в полградуса превращает точку в длинную вытянутую полосу. Лучше всего треугольники, близкие к равносторонним: там погрешности углов почти не раздуваются.

Третья сторона

Бывает и другая задача. От стоянки до двух ориентиров измерены расстояния $a$ и $b$ и угол $C$ между направлениями на них. Каково расстояние $c$ между самими ориентирами? Две стороны и угол между ними задают треугольник (первый признак равенства), и ответ даёт обобщение теоремы Пифагора. В главе 18 Евклид уже вывел его без косинусов, с поправкой $2bx$; теперь поправка получит имя.

Поставим треугольник на координатную плоскость так, чтобы координаты вершин выражались через косинус и синус.

Вершину $C$ поместим в начало координат, сторону $CA$ направим по оси абсцисс. Тогда $A = (b;\,0)$. Точка $B$ лежит на расстоянии $a$ от начала координат, на луче под углом $C$ к оси абсцисс. Если сжать картинку в $a$ раз, $B$ окажется на единичной окружности в точке $P_C = (\cos C;\,\sin C)$. Значит, $B = (a\cos C;\,a\sin C)$ — и при тупом угле $C$ тоже: тогда $\cos C < 0$, и $B$ лежит левее оси ординат. Расстояние между $A$ и $B$ — гипотенуза прямоугольного треугольника, катеты которого — разности координат: $|a\cos C - b|$ по горизонтали и $a\sin C$ по вертикали. По теореме Пифагора $c^2 = (a\cos C - b)^2 + (a\sin C)^2$. Раскроем скобки: $c^2 = a^2\cos^2 C - 2ab\cos C + b^2 + a^2\sin^2 C = a^2\left(\cos^2 C + \sin^2 C\right) + b^2 - 2ab\cos C$. По основному тождеству скобка равна $1$. $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$. Число $a\cos C$ — это как раз $x$ из формулы Евклида: расстояние со знаком от $C$ до основания высоты из $B$. Одна сторона при угле $C$. Другая сторона при угле $C$. Сторона против угла $C$ — её и ищем. Угол между $a$ и $b$. При $C = 90^\circ$ косинус равен нулю, и остаётся теорема Пифагора; при тупом угле $\cos C < 0$, и третья сторона длиннее, чем была бы при прямом. Пример: $a = 5$, $b = 8$, $C = 60^\circ$. Тогда $c^2 = 25 + 64 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \frac12 = 49$, и $c = 7$.

Та же картинка даёт и площадь. В главе 17 площадь треугольника была половиной основания на высоту, а высота из вершины $B$ на сторону $CA$ — это ордината точки $B$, то есть $a\sin C$.

Возьмём сторону $CA = b$ за основание. Высота из $B$ — расстояние от $B$ до прямой $CA$, то есть модуль ординаты точки $B = (a\cos C;\,a\sin C)$. Угол треугольника меньше $180^\circ$, поэтому $\sin C > 0$ и высота равна $a\sin C$ — даже если угол $C$ тупой и высота падает за точку $C$. $S = \frac12 \cdot b \cdot a\sin C = \frac12 ab\sin C$.

Две стороны треугольника равны $3$ и $5$, угол между ними $120^\circ$. Найдите третью сторону.

$\cos 120^\circ = -\frac12$, поэтому $c^2 = 9 + 25 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \left(-\frac12\right) = 34 + 15 = 49$, и $c = 7$. Площадь этого треугольника $\frac12 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \sin 120^\circ = \frac{15\sqrt3}{4} \approx 6{,}5$.

Гора

Теперь можно вернуться к Эвересту. До основания горы не дойти, поэтому расстояние до неё неизвестно. Но можно измерить угол, под которым видна вершина, из двух точек $A$ и $B$ на одной прямой с горой, отстоящих друг от друга на известное $d$. Пусть из дальней точки $A$ вершина видна под углом $\alpha$, а из ближней $B$ — под большим углом $\beta$. В треугольнике $ABT$ угол при $B$ равен $180^\circ - \beta$, угол при вершине $T$ — $\beta - \alpha$. По теореме синусов $BT = \frac{d\sin\alpha}{\sin(\beta - \alpha)}$, а высота вершины над уровнем точек — катет прямоугольного треугольника с гипотенузой $BT$:

$$h = BT\sin\beta = \frac{d\sin\alpha\sin\beta}{\sin(\beta - \alpha)}.$$

Например, при $d = 1000$ м, $\alpha = 25^\circ$ и $\beta = 35^\circ$ получается $h \approx 1396$ м. Геодезисты Большой тригонометрической съёмки Индии мерили Эверест с нескольких станций на равнине, за сотню с лишним километров. На таких расстояниях приходится учитывать ещё две вещи: Земля круглая, и вершина «прячется» за её изгибом, а лучи света в воздухе слегка искривляются. В 1856 году было объявлено число $29\,002$ фута, около $8840$ м. Сегодняшнее значение, принятое в 2020 году, — $8848{,}86$ м.

Из точки $A$ вершина холма видна под углом $30^\circ$, а из точки $B$, которая на $100$ м ближе к холму, — под углом $60^\circ$. На какой высоте над точками $A$ и $B$ находится вершина? Подсказка: посмотрите на угол при вершине.

Угол треугольника $ABT$ при $T$ равен $60^\circ - 30^\circ = 30^\circ$ — столько же, сколько при $A$. Треугольник равнобедренный, $BT = AB = 100$ м. Высота $h = BT\sin 60^\circ = 100 \cdot \frac{\sqrt3}{2} = 50\sqrt3 \approx 86{,}6$ м.

Размер Земли

Последняя стоянка экспедиции — вся Земля. Около 240 года до нашей эры Эратосфен Киренский, хранитель Александрийской библиотеки, узнал, что в Сиене (сегодня это Асуан) в полдень летнего солнцестояния Солнце стоит прямо над головой: по рассказу, его отражение видно на дне глубокого колодца, а отвесные предметы не отбрасывают тени. В тот же день в Александрии, к северу от Сиены, тень от отвесного шеста в полдень была, и её угол составлял, как пишет пересказавший опыт Клеомед, одну пятидесятую полного круга — $7{,}2^\circ$.

Остальное — геометрия. Солнце очень далеко, поэтому его лучи в Сиене и в Александрии параллельны. Луч в Сиене идёт по отвесу, то есть по радиусу Земли. Шест в Александрии тоже стоит по радиусу. Угол между лучом и шестом в Александрии и угол между двумя радиусами в центре Земли — накрест лежащие углы при параллельных прямых, поэтому они равны (глава 17). Значит, дуга от Сиены до Александрии — одна пятидесятая окружности Земли. Расстояние между городами считали равным $5000$ стадиев, и вся окружность вышла в $250\,000$ стадиев.

Насколько точен результат, сказать трудно: неизвестно, какой стадий имел в виду Эратосфен. Если он пользовался стадием около $157{,}5$ м (его называют египетским), получается $39\,375$ км — удивительно близко к сегодняшним $40\,008$ км по меридиану. Если аттическим, около $185$ м, — $46\,250$ км, на $16$ % больше. К тому же Сиена лежит не точно к югу от Александрии, а $5000$ — округлённое число. Но метод безупречен и точность его ограничена только точностью измерений.

Обратите внимание на переключатель «А если плоская?». Те же два измерения объясняет и плоская Земля, если Солнце висит невысоко — примерно в $40$ тысячах стадиев над Сиеной. Два шеста не отличают одно от другого. Эратосфен опирался на то, что Солнце очень далеко; греческие астрономы к тому времени уже знали, что оно во много раз дальше Луны, — Аристарх Самосский оценивал это отношение в $18$–$20$ раз (на самом деле около $400$).

Вытянуть дугу меридиана точнее, чем «пять тысяч стадиев», помог приём, который мы применили у реки, повторённый много раз.

Первым так измерил дугу меридиана голландец Виллеброрд Снеллиус; книгу о своём измерении он в 1617 году назвал «Батавский Эратосфен». Самое знаменитое сооружение такого рода — Геодезическая дуга Струве: в 1816–1855 годах под руководством астронома Василия Яковлевича (Фридриха Георга Вильгельма) Струве цепь из $258$ треугольников протянули на $2820$ км от Хаммерфеста в Норвегии до Чёрного моря. Сегодня $34$ её сохранившихся пункта в десяти странах внесены в список Всемирного наследия ЮНЕСКО.

Волна

Экспедиция возвращается, но синус уходит гораздо дальше треугольников. Всё, что качается равномерно, — маятник, струна, мембрана динамика — движется как тень точки на окружности. Чистый звук — это давление воздуха, меняющееся по закону $A\sin(2\pi f t)$, где $f$ — частота, число колебаний в секунду. Нота ля первой октавы, по которой строят оркестры, — $440$ колебаний в секунду.

Если звучат две ноты почти одинаковой высоты, давления складываются, и слышно странное: звук то нарастает, то стихает. Это биения, и их объясняют всё те же формулы сложения.

Для двух тонов с частотами $f_1$ и $f_2$ это значит: сумма колеблется с частотой, равной среднему $\frac{f_1 + f_2}{2}$, но её размах $2\cos\left(\pi(f_1 - f_2)t\right)$ медленно меняется. Громкость пропадает $f_2 - f_1$ раз в секунду. У ля в $440$ и $444$ колебаний в секунду — четыре раза.

Сложный звук — голос, скрипка, аккорд — тоже можно разложить на синусоиды, только их понадобится много. Как это сделать, расскажет глава о рядах Фурье.

Полевой журнал

Экспедиция окончена, пора заполнить журнал. В тренажёре три уровня: значения синуса, косинуса и тангенса острых углов; любые углы на единичной окружности, в градусах и радианах; треугольники — стороны, углы и площади по теоремам синусов и косинусов.

Для своих задач пригодятся решатели: решение треугольника по любым трём данным и тригонометрические уравнения.

Куда дальше

Мы научились измерять недоступное, не сходя с места. Но в дороге приходится не только мерить, но и двигаться. Моторная лодка идёт в стоячей воде со скоростью $4$ км/ч, её нос направлен строго поперёк реки, а течение уносит её вниз со скоростью $3$ км/ч. Куда и с какой скоростью она поплывёт на самом деле? Скорости здесь нельзя просто сложить: у каждой есть направление, и складывать их приходится «стрелками». Как считать со стрелками, рассказывает глава о векторах и координатах.