Царица наук EN

Царица наук

История

Все главы курса по темам, уровням и частям. Можно выбрать несколько тем сразу — например, «Головоломки» и «Вероятность».

0 Что такое математика Пять точек на окружности режут круг на 16 частей, шесть — на 31, хотя рука сама пишет 32. С этой ловушки начинается курс: почему математике мало примеров, чем она их заменяет и какие семь вопросов ждут впереди. 5–9 класс 30 мин 1 Счёт: от зарубок до битов Как записать число, для которого не хватит ни пальцев, ни зарубок на палке? Пройдём по залам музея счёта — от кости с насечками до двоичного кода — и посмотрим, как люди научились укладывать любое число в несколько знаков. 5–9 класс 40 мин 2 Ноль и минус Сколько будет 3 − 5? Скептик из XVII века уверен, что нисколько, а «минус на минус» считает бессмыслицей. Поспорим с ним по правилам: каждое правило знаков придётся отстоять. 5–9 класс 40 мин 6 Корень из двух и действительные числа Дело о диагонали квадрата: три независимые экспертизы доказывают, что её длину нельзя записать дробью. Разбираемся, как с этим жили вавилоняне, что такое цепные дроби и откуда берутся действительные числа. 5–9 класс 45 мин 7 Буквы вместо чисел Фокусник угадывает задуманное число и считает в уме быстрее калькулятора. Разоблачим его фокусы один за другим — и по дороге научимся записывать правило, верное сразу для всех чисел. 5–9 класс 40 мин 8 Уравнения: искусство равновесия Уравнение — это весы в равновесии, на которых лежит коробка неизвестного веса. Научимся снимать с чаш лишнее так, чтобы весы не дрогнули, и узнаем, откуда взялось само слово «алгебра». 5–9 класс 40 мин 10 Квадратные уравнения Задаче, которой закончилась прошлая глава, без малого четыре тысячи лет. Раскопаем её слой за слоем — от глиняной таблички до формулы корней — и посмотрим, что эта формула говорит на самом деле. 5–9 класс 40 мин 11 Системы уравнений и неравенства Когда условий несколько, одного уравнения мало. Откроем маленькую мастерскую игрушек: найдём цены по двум накладным, посчитаем на древнекитайской счётной доске, упрёмся в ограничения склада и выясним, почему самый выгодный план всегда стоит в углу. 5–9 класс 45 мин 12 Степени и логарифмы Величина, которая на каждом шаге умножается, рано или поздно перерастает любую, которая прибавляется, и обычно раньше, чем кажется. Устроим гонку ростов, а потом найдём инструмент, который превращает умножение в сложение и укрощает астрономические числа. 5–9 класс 40 мин 14 Многочлены В 1535 году в Венеции два математика обменялись тридцатью задачами, и все задачи одного из них были кубическими уравнениями. Проследим историю этого поединка до конца, а по дороге соберём оружие, которым с тех пор решают уравнения высоких степеней. 10–11 класс 50 мин 15 Комплексные числа Число, квадрат которого равен −1, почти триста лет считали невозможным. Проследим, как оно превращалось из фокуса в символ, из символа в точку, а из точки в поворот, и что после этого стало с уравнениями. 10–11 класс 55 мин 16 Начала: аксиомы и построения Около 300 года до нашей эры в Александрии написали книгу, которая учит отличать «видно на чертеже» от «верно всегда». Её правила — циркуль и линейка, и по ним можно играть. 5–9 класс 45 мин 18 Теорема Пифагора Самая знаменитая теорема геометрии и её галерея: пять залов, в каждом своё доказательство — китайское, Евклида, через подобие, президентское и головоломка без формул. На выходе — целые тройки, расстояния и загадка Ферма. 5–9 класс 50 мин 19 Окружность и число π Погоня за одним числом длиной в четыре тысячи лет — от верёвки вокруг бочки до суперкомпьютеров. По дороге — теоремы об окружности: угол на диаметре, вписанный угол, касательная, хорды крест-накрест и площадь круга. 5–9 класс 55 мин 20 Площадь и объём Мастерская с ножницами: режем фигуры, перекладываем куски и выясняем, что такое площадь. Любой многоугольник перекраивается в любой другой той же площади — а круг и куб ножницам не поддаются. 5–9 класс 55 мин 21 Тригонометрия Экспедиция землемеров: от тени шеста к ширине реки, высоте горы и размеру всей Земли. По дороге углы превращаются в числа — синус, косинус, тангенс, — а окружность разматывается в волну. 10–11 класс 60 мин 24 Конические сечения Рассечём конус плоскостью — и получим кривые, по которым летают планеты, кометы и межзвёздные гости. Одна ночь в обсерватории: от чертежей Аполлония до спутниковых тарелок и орбиты Земли. 10–11 класс 50 мин 25 Пределы Скорость в одно мгновение выглядит как ноль, делённый на ноль. Полтора века математики пользовались ею, не умея объяснить, что это такое. Объяснение оказалось игрой против упрямого противника — выучим её правила. 10–11 класс 50 мин 26 Производная Что на самом деле показывает спидометр? Сядем в машину с видеорегистратором, превратим среднюю скорость в мгновенную и научимся находить наклон любого гладкого графика в любой его точке. 10–11 класс 50 мин 28 Интеграл Биография одной идеи: разрезать фигуру на тонкие полоски и сложить их. Она родилась в Сиракузах, повзрослела в век неделимых, встретилась с касательной у Ньютона и Лейбница и получила строгое определение от Римана. 10–11 класс 55 мин 29 Число e и экспонента Одно и то же число 2,71828… замечали в банке, на графике, под гиперболой, в радиоактивном распаде, на окружности, в гардеробе и на смотринах невесты. Запишем все встречи с ним, как натуралист в полевом дневнике, и выясним, одно ли это число или несколько похожих. 10–11 класс 55 мин 30 Ряды Бесконечную сумму сложить можно, но обращаться с ней надо осторожно: одна сходится, другая уходит в бесконечность, третья меняет ответ, стоит переставить слагаемые. Пройдём по кунсткамере бесконечных сумм — от стопки книг над пропастью до многочлена, который выдаёт себя за синус. 1–2 курс 55 мин 33 Ряды Фурье Звук скрипки, температуру в кольце и контур, нарисованный пальцем, можно разобрать на синусоиды и собрать обратно. Узнаем, как по кривой найти её гармоники, почему у ступеньки всегда остаётся звон и как тот же приём сжимает фотографии и музыку. 1–2 курс 55 мин 36 Метод Гаусса Как по нескольким наблюдениям найти потерянную планету: систему из многих уравнений превращаем в лесенку и читаем ответ снизу вверх. По ступенькам сразу видно, одно у системы решение, бесконечно много или ни одного. 1–2 курс 55 мин 40 Группы Картонный квадрат, колода карт, «пятнашки» и кубик Рубика — четыре головоломки, за которыми стоит одна конструкция из четырёх правил. Соберём её и узнаем, почему в «пятнашках» нельзя поменять местами 14 и 15 и сколько раз нужно повторить R U, чтобы кубик собрался снова. 1–2 курс 55 мин 43 Теория Галуа Почему для уравнения пятой степени нет формулы, почему угол не делится на три равные части циркулем и линейкой и почему правильный семнадцатиугольник построить можно. На все три вопроса отвечает одна идея — симметрии корней. Её автор, Эварист Галуа, погиб в двадцать лет. 3 курс и выше 75 мин 44 Дзета-функция и эллиптические кривые Насколько точна формула Гаусса для числа простых? Ответ спрятан в нулях одной функции комплексного переменного, и где лежат все эти нули, не знает никто. По соседству — кривые третьей степени, на которых точки складываются, как числа: они доказали теорему Ферма и охраняют ваш банк. 3 курс и выше 70 мин 50 Цепи Маркова и информация Буквы в тексте зависят от предыдущих, погода — от вчерашней. Посчитаем эту зависимость, как Марков в «Евгении Онегине», и измерим, сколько информации несёт буква, как Шеннон. 1–2 курс 50 мин 52 Бесконечности Три собеседника Галилея спорят, чего больше: натуральных чисел или точек на отрезке. По дороге им попадутся гостиница, где всегда есть свободный номер, диагональ Кантора и башня бесконечностей без верхнего этажа. 1–2 курс 55 мин 53 Строгий анализ Непрерывная функция без единой касательной, функция, которую нельзя нарисовать, предел непрерывных функций со скачком. Бестиарий чудовищ, из-за которых анализ стал строгим, и инструменты, которыми их приручили. 1–2 курс 75 мин 55 Функциональный анализ Функция — точка пространства, у которого бесконечно много измерений. В нём есть длины, углы и проекции, теорема Пифагора с бесконечным числом катетов снова даёт π²/6, а неподвижная точка сжатия рисует папоротник. Но кое-что из привычного на этой границе ломается. 3 курс и выше 60 мин 56 Гёдель, Тьюринг и пределы доказательства Головоломка из четырёх правил, число, которое говорит о себе, и программа, которую невозможно написать. В 1931 году Гёдель доказал, что в арифметике есть истинные, но недоказуемые утверждения, а в 1936-м Тьюринг — что некоторые вопросы не решает никакой алгоритм. 1–2 курс 65 мин 58 Неевклидовы геометрии Дневник путешествия по трём мирам. На плоскости сумма углов треугольника — ровно 180°, на сфере больше, а в мире Лобачевского меньше, и там через точку проходит бесконечно много параллельных. 1–2 курс 60 мин 59 Хаос и фракталы Формула в одну строчку, три уравнения Лоренца, игра в кости — и поведение, которое не предскажет никакой компьютер. Лабораторный журнал из девяти опытов: почему погоду нельзя предсказать на месяц вперёд и откуда у берега дробная размерность. 1–2 курс 60 мин 60 Передний край Курс кончается там, где кончаются ответы. Карта неизведанного: задачи тысячелетия, гипотеза Коллатца, P против NP; как математику делают сегодня — вместе, с компьютерами, Lean и ИИ; и возвращение к семи вопросам, с которых всё началось. 3 курс и выше 55 мин
Царица наук

Главы курса

Вступление

  1. 0 Что такое математика

I Числа

  1. 1 Счёт
  2. 2 Ноль и минус
  3. 3 Простые числа
  4. 4 Делимость
  5. 5 Дроби
  6. 6 Корень из двух

II Алгебра

  1. 7 Буквы
  2. 8 Уравнения
  3. 9 Функции и графики
  4. 10 Квадратные уравнения
  5. 11 Системы и неравенства
  6. 12 Степени и логарифмы
  7. 13 Последовательности
  8. 14 Многочлены
  9. 15 Комплексные числа

III Геометрия

  1. 16 Начала Евклида
  2. 17 Треугольник
  3. 18 Теорема Пифагора
  4. 19 Окружность и π
  5. 20 Площадь и объём
  6. 21 Тригонометрия
  7. 22 Векторы
  8. 23 Симметрия
  9. 24 Конические сечения

IV Анализ

  1. 25 Пределы
  2. 26 Производная
  3. 27 Экстремумы
  4. 28 Интеграл
  5. 29 Число e
  6. 30 Ряды
  7. 31 Дифференциальные уравнения
  8. 32 Многие переменные
  9. 33 Ряды Фурье
  10. 34 Комплексный анализ

V Линейная алгебра

  1. 35 Матрицы
  2. 36 Метод Гаусса
  3. 37 Векторные пространства
  4. 38 Собственные векторы
  5. 39 МНК и SVD

VI Структуры

  1. 40 Группы
  2. 41 Остатки и шифры
  3. 42 Кольца и поля
  4. 43 Теория Галуа
  5. 44 Дзета и кривые

VII Случай и данные

  1. 45 Комбинаторика
  2. 46 Графы
  3. 47 Вероятность
  4. 48 Случайные величины
  5. 49 Статистика
  6. 50 Марков и информация

VIII Основания

  1. 51 Логика и множества
  2. 52 Бесконечности
  3. 53 Строгий анализ
  4. 54 Мера и интеграл
  5. 55 Функциональный анализ
  6. 56 Гёдель и Тьюринг

IX Горизонты

  1. 57 Топология
  2. 58 Неевклидовы геометрии
  3. 59 Хаос и фракталы
  4. 60 Передний край