Часть III · Геометрия Глава 18 из 60
Теорема Пифагора
Самая знаменитая теорема геометрии и её галерея: пять залов, в каждом своё доказательство — китайское, Евклида, через подобие, президентское и головоломка без формул. На выходе — целые тройки, расстояния и загадка Ферма.
Опирается на: 17 · Треугольник
Вы научитесь
- находить сторону прямоугольного треугольника по двум другим и узнавать прямой угол по трём сторонам
- понимать несколько доказательств теоремы Пифагора и видеть, почему каждое работает для любого прямоугольного треугольника
- строить пифагоровы тройки по формуле Евклида, считать расстояния между точками и диагонали коробок
Прошлая глава закончилась верёвкой с узлами. Если натянуть её треугольником со сторонами $3$, $4$ и $5$, угол между короткими сторонами выйдет прямым. А если построить прямой угол и отложить на его сторонах по единице, какой длины получится третья сторона? Линейка скажет «примерно $1{,}4$». Точный ответ линейка не даст, а теорема даст: $\sqrt2$ — число, которое, как мы видели в главе 6, не записывается никакой дробью.
Эта глава устроена как картинная галерея. У теоремы Пифагора сотни доказательств, и мы выставили пять самых непохожих: китайское, Евклида, через подобие, придуманное будущим президентом США и одно совсем без формул. Каждое висит в своём зале и оживает по кнопке «Дальше». Но сначала — зал древностей: теорему знали задолго до того, как её доказали.
Зал древностей
Первый экспонат — глиняная табличка размером с ладонь. Её хранят в Нью-Йорке, в Колумбийском университете, под номером Plimpton 322, а исписал её вавилонский писец около 1800 года до нашей эры. На табличке пятнадцать строк и четыре столбца шестидесятеричных чисел. В первой строке стоят $119$ и $169$, и если досчитать недостающее, выйдет $119^2 + 120^2 = 14\,161 + 14\,400 = 28\,561 = 169^2$. Во всех строках спрятаны такие же тройки, среди них огромные вроде $12\,709$, $13\,500$ и $18\,541$, которые случайно не подберёшь. Зачем их записали, спорят до сих пор: одни историки видят здесь задачник для учителя, другие — что-то вроде таблицы углов. Но что писец знал связь между сторонами прямоугольного треугольника, сомнений нет.
Второй экспонат — индийские «Шульба-сутры», наставления о том, как размечать верёвками жертвенники. Их датируют по-разному, от VIII до V века до нашей эры. В сутре Баудхаяны правило записано почти так, как его учат сегодня: верёвка, натянутая по диагонали прямоугольника, «производит» столько же, сколько вместе производят его длинная и короткая стороны. «Производит» здесь значит «строит квадрат»: квадрат на диагонали равен двум квадратам на сторонах.
Третий — китайский трактат «Чжоу би суань цзин», текст которого сложился, по оценкам историков, к рубежу нашей эры. Он открывается беседой, в которой мудрец объясняет правителю: если разрезать прямоугольник по диагонали, взяв ширину три и длину четыре, диагональ будет пять. Стороны прямоугольного треугольника в Китае называли «гоу» (короткий катет), «гу» (длинный катет) и «сянь» (гипотенуза), а саму теорему там до сих пор зовут теоремой гоу-гу.
Наконец, сам Пифагор. Он жил в VI веке до нашей эры, родился на острове Самос и основал в Кротоне, на юге Италии, братство, где математика была частью образа жизни. Его сочинений не сохранилось, и доказывал ли он теорему, мы не знаем. Прокл, комментатор Евклида из V века нашей эры, приписывает её Пифагору с оговоркой: так говорят те, кто любит пересказывать древние истории. Они же сообщают, что на радостях Пифагор принёс в жертву быка. Уже Цицерон в этом сомневался: пифагорейцы, по преданию, крови животных не проливали. Легенда осталась легендой, а имя приклеилось к теореме навсегда.
Что утверждает теорема
Прежде чем читать формулировку, проверьте её сами. На каждой стороне треугольника построен квадрат, внутри подписана его площадь. Двигайте вершину $C$ и следите за строчкой справа.
Пока угол при $C$ острый, два меньших квадрата вместе больше третьего; когда тупой — меньше. Равенство наступает ровно тогда, когда угол прямой. Этот угол и стороны вокруг него получили свои имена.
В прямоугольном треугольнике стороны, образующие прямой угол, называют катетами, а сторону против прямого угла — гипотенузой. Слово «гипотенуза» по-гречески значит «стягивающая»: она стягивает концы катетов. Обычно катеты обозначают $a$ и $b$, гипотенузу — $c$, вершину прямого угла — $C$.
Катеты прямоугольного треугольника равны $5$ и $12$. Чему равна гипотенуза?
$c = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{169} = 13$. Главная ловушка — сложить сами катеты. Но $\sqrt{a^2 + b^2}$ всегда меньше $a + b$: путь по гипотенузе короче пути по двум катетам, это неравенство треугольника.
В любом прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $a^2 + b^2 = c^2$. На языке площадей: квадрат, построенный на гипотенузе, равен по площади двум квадратам на катетах вместе.
Дальше — пять доказательств, по одному в зале. Смотреть их можно в любом порядке, но каждое стоит досмотреть до конца. Под каждым чертежом есть ползунок, меняющий форму треугольника: доказательство, которое держится на удачном рисунке, ничего не доказывает, и проверить это можно самим.
Зал 1. Китайский чертёж
Первое доказательство — сравнение. Четыре одинаковых треугольника укладываются в один и тот же квадрат двумя способами, и незанятое место в обоих случаях одинаково по площади.
Осторожности требует только первый шаг: почему дыра в середине — квадрат, а не ромб. Стороны у неё равны $c$ — это гипотенузы. А угол дыры вместе с двумя острыми углами треугольника составляет развёрнутый угол, и раз острые углы прямоугольного треугольника в сумме дают $90^\circ$ (сумма углов треугольника — $180^\circ$), на угол дыры остаётся ровно $90^\circ$.
Третий шаг — «чертёж гипотенузы», который приложил к «Чжоу би» комментатор Чжао Шуан в III веке. Четыре треугольника у него закрашены красным, маленький квадрат в центре — жёлтым. В XII веке индийский математик Бхаскара II нарисовал ту же фигуру и, по популярному, хотя, возможно, приукрашенному рассказу, подписал её одним словом: «Смотри!». Кому смотреть недостаточно, поможет алгебра главы 7: $4 \cdot \frac{ab}{2} + (b - a)^2 = 2ab + b^2 - 2ab + a^2 = a^2 + b^2$.
Зал 2. Пифагоровы штаны
Около 300 года до нашей эры Евклид поставил теорему Пифагора сорок седьмым предложением первой книги «Начал», почти в самый конец, — как вершину, к которой вела вся книга. Его чертёж знает любой, кто учился в российской школе: квадраты на сторонах похожи на штаны, отсюда присказка «Пифагоровы штаны во все стороны равны». В английских учебниках этот рисунок зовут ветряной мельницей.
Евклид доказывает теорему через пары равных треугольников. Мы покажем ту же идею движением: квадрат на катете превращается в прямоугольник внутри квадрата на гипотенузе, и ни на одном шаге его площадь не меняется.
Почему сдвиг не меняет площадь? Параллелограмм можно перекроить в прямоугольник с тем же основанием и той же высотой: отрезать треугольник с одного края и приставить к другому. Значит, площадь параллелограмма — основание, умноженное на высоту, а при сдвиге стороны вдоль её собственной прямой меняются углы, но не основание и не высота. Подробно о перекраивании — в главе 20.
Попутно доказано больше, чем обещано. Прямоугольник под катетом $b$ имеет ширину $AH$ — это проекция катета на гипотенузу — и высоту $c$, поэтому $b^2 = c \cdot AH$. Точно так же $a^2 = c \cdot BH$: квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета. Эта пара равенств встретится нам в следующем зале.
Зал 3. Подобие
В «Автобиографических заметках» Альберт Эйнштейн вспоминал, что о теореме Пифагора ему рассказал дядя — ещё до того, как в двенадцать лет в руки мальчику попала «священная книжечка» по геометрии. После долгих усилий он сумел её «доказать», опираясь на подобие треугольников. Кавычки поставил сам Эйнштейн. Каким было его рассуждение, неизвестно, но самое красивое доказательство через подобие выглядит так.
Всё держится на одном факте: при увеличении фигуры в $k$ раз её площадь растёт в $k^2$ раз. Для треугольника это следует из формулы $S = \frac12 a h_a$ прошлой главы: и основание, и высота увеличиваются в $k$ раз. Три подобных треугольника с гипотенузами $a$, $b$ и $c$ — один треугольник в трёх масштабах, поэтому их площади равны $k a^2$, $k b^2$ и $k c^2$ с одним и тем же числом $k$. Две меньшие площади вместе дают большую, остаётся сократить на $k$.
У этого доказательства есть бонус: квадраты в нём ничем не выделены.
Если на катетах и гипотенузе прямоугольного треугольника построить три подобные друг другу фигуры так, что стороны треугольника — соответственные отрезки этих фигур, то площадь фигуры на гипотенузе равна сумме площадей фигур на катетах.
Размеры трёх фигур относятся как $a : b : c$, а площадь растёт как квадрат размера. Поэтому площади равны $k a^2$, $k b^2$ и $k c^2$ с одним и тем же числом $k$ — это доля, которую фигура занимает от квадрата на своей стороне. По теореме Пифагора $k a^2 + k b^2 = k\,(a^2 + b^2) = k c^2$.
Полукруги, правильные треугольники, пятиугольники, портреты Пифагора — годится что угодно. Переключите квадраты на полукруги в первом виджете и убедитесь. Евклид знал и это обобщение: оно стоит в «Началах» под номером VI.31.
Подобие даёт и готовые формулы — те самые, что уже мелькнули в зале Евклида.
Пусть $CH$ — высота прямоугольного треугольника $ABC$, опущенная на гипотенузу. Тогда $AC^2 = AB \cdot AH$, $BC^2 = AB \cdot BH$ и $CH^2 = AH \cdot HB$: катет — среднее геометрическое гипотенузы и своей проекции на неё, а высота — среднее геометрическое отрезков гипотенузы.
Треугольник $ACH$ подобен $ABC$: угол $A$ общий, и у обоих есть прямой угол. Поэтому $\frac{AH}{AC} = \frac{AC}{AB}$, откуда $AC^2 = AB \cdot AH$. Так же из подобия $CBH$ и $ABC$ получаем $BC^2 = AB \cdot BH$. Наконец, треугольники $ACH$ и $CBH$ подобны друг другу — оба подобны $ABC$, причём вершине $A$ первого соответствует вершина $C$ второго, а вершине $C$ — вершина $B$. Отсюда $\frac{AH}{CH} = \frac{CH}{HB}$, то есть $CH^2 = AH \cdot HB$.
Для египетского треугольника $3$, $4$, $5$ получаем $AH = \frac{16}{5} = 3{,}2$, $BH = \frac95 = 1{,}8$ и высоту $CH = \frac{ab}{c} = 2{,}4$; проверка: $2{,}4^2 = 5{,}76 = 3{,}2 \cdot 1{,}8$.
Зал 4. Трапеция президента
Первого апреля 1876 года журнал New-England Journal of Education напечатал новое доказательство теоремы Пифагора. Его прислал конгрессмен от Огайо Джеймс Гарфилд; по рассказам, оно родилось в математической беседе с коллегами по Конгрессу. Через пять лет Гарфилд стал двадцатым президентом США. Редакция заметила, что в этом доказательстве, пожалуй, могут сойтись члены обеих палат, невзирая на партии.
Площадь трапеции — полусумма оснований на высоту; эту формулу получают, разрезав трапецию диагональю на два треугольника с общей высотой. У Гарфилда основания — катеты $a$ и $b$, а высота — их сумма $a + b$. Угол между гипотенузами прямой по той же причине, что и в первом зале: при общей вершине сходятся два разных острых угла треугольника, в сумме $90^\circ$, и на третий угол остаётся $90^\circ$. Последний шаг показывает, что трапеция Гарфилда — ровно половина квадрата из первого зала, и его расчёт — половина равенства $(a + b)^2 = 2ab + c^2$.
Зал 5. Головоломка без слов
В последнем зале нет ни одной формулы. Квадрат на гипотенузе собирают из кусков двух других, как головоломку. Такое разрезание опубликовал в 1873 году лондонский любитель геометрии Генри Перигал.
Картинка убеждает, но почему куски встают вплотную? Всё решает подобие с исходным треугольником. Разрез, параллельный гипотенузе, наклонён к сторонам квадрата $b \times b$ так же, как гипотенуза к катету $b$: на каждые $b$ вдоль приходится $a$ поперёк. Половина разреза, от центра до края, проходит вдоль $\frac b2$ и поднимается на $\frac a2$ — это наш треугольник, уменьшенный вдвое, поэтому её длина $\frac c2$. Второй разрез получается из первого поворотом на $90^\circ$ вокруг центра и устроен так же. Значит, у каждого куска прямой угол с катетами по $\frac c2$ — четыре таких угла точно заполняют углы квадрата $c \times c$. А концы разреза смещены от середин сторон на $\frac a2$, так что внешние стороны кусков равны $\frac{b + a}{2}$ и $\frac{b - a}{2}$. В собранном квадрате сторона дыры — их разность, $a$: ровно под квадрат на меньшем катете. Теорема Пифагора при этом нигде не использовалась.
Обратная дорога: верёвка с узлами
Строителю чаще нужна не сама теорема, а обратная: как построить прямой угол без угольника. Узлы на верёвке через равные промежутки, треугольник $3 : 4 : 5$ — и угол готов. Но теорема Пифагора об этом молчит: она начинается со слов «если угол прямой». Утверждение, в котором условие и вывод поменялись местами, — другая теорема, и её нужно доказывать отдельно.
Обратная теорема к теореме «если $P$, то $Q$» — утверждение «если $Q$, то $P$». Она не обязана быть верной: «если число делится на $4$, то оно чётное» верно, а «если число чётное, то оно делится на $4$» — нет, пример — число $6$.
Если стороны треугольника связаны равенством $a^2 + b^2 = c^2$, то угол, лежащий против стороны $c$, прямой.
Идея: построим рядом заведомо прямоугольный треугольник с такими же катетами и покажем, что он совпадает с данным.
Дан треугольник $ABC$ со сторонами $\p1{a} = BC$, $\p2{b} = CA$, $\p4{c} = AB$, и про них известно одно: $\p1{a}^2 + \p2{b}^2 = \p4{c}^2$. Прямой ли угол $C$, пока неизвестно.
Построим прямой угол с вершиной $C'$ и отложим на его сторонах $C'B' = \p1{a}$ и $C'A' = \p2{b}$ — это умеют циркуль и линейка.
Треугольник $A'B'C'$ прямоугольный по построению, и к нему применима теорема Пифагора: $A'B'^2 = \p1{a}^2 + \p2{b}^2$. По условию то же число равно $\p4{c}^2$. Значит, $A'B'^2 = \p4{c}^2$, и $A'B' = \p4{c}$: длины положительны, а у положительных чисел из равенства квадратов следует равенство самих чисел.
Теперь у треугольников $ABC$ и $A'B'C'$ все три стороны соответственно равны: $\p1{a}$, $\p2{b}$ и $\p4{c}$. По третьему признаку равенства треугольники равны — один можно наложить на другой.
У равных треугольников равны и соответственные углы. Угол $C$ лежит против стороны $\p4{c}$, как и угол $C'$, а угол $C'$ прямой по построению. Значит, прямой и угол $C$.
Это предложение I.48, последнее в первой книге «Начал». Верёвочный способ строить прямой угол издавна связывают с Египтом: Демокрит, по свидетельству Климента Александрийского, хвалился, что в построениях его не превзошли даже египетские «натягиватели верёвок» — гарпедонапты. Что они натягивали именно треугольник $3 : 4 : 5$, предположил в конце XIX века историк Мориц Кантор; прямых свидетельств этому нет, но название «египетский треугольник» прижилось.
Прямоугольный газон размером $60 \times 80$ метров пешеходы пересекают по диагонали, а не обходят по краю. Сколько метров они выигрывают?
Диагональ — гипотенуза треугольника с катетами $60$ и $80$: $\sqrt{3600 + 6400} = \sqrt{10\,000} = 100$ м. Путь по краю — $60 + 80 = 140$ м. Выигрыш — $40$ метров. Это египетский треугольник, увеличенный в $20$ раз.
Целые тройки
Табличка Plimpton 322 полна целых решений уравнения $a^2 + b^2 = c^2$. У таких троек есть имя.
Пифагорова тройка — три натуральных числа $a$, $b$, $c$, для которых $a^2 + b^2 = c^2$. Тройку называют примитивной, если у трёх чисел нет общего делителя больше $1$.
Из одной тройки легко сделать бесконечно много: $(6, 8, 10)$, $(9, 12, 15)$ и вообще $(3k, 4k, 5k)$ — это египетский треугольник в другом масштабе. Интересны примитивные тройки: $(3, 4, 5)$, $(5, 12, 13)$, $(8, 15, 17)$, $(7, 24, 25)$, $(20, 21, 29)$… Как находить их все, знал уже Евклид — рецепт стоит в десятой книге «Начал».
Для любых натуральных $m > n$ числа $a = m^2 - n^2$, $b = 2mn$, $c = m^2 + n^2$ образуют пифагорову тройку. Если $m$ и $n$ взаимно просты и разной чётности, тройка примитивная, и так получается каждая примитивная тройка (с точностью до того, какой катет назвать первым).
Что формула всегда даёт тройку, можно проверить раскрытием скобок. Но есть картинка, в которой и проверять нечего.
Идея: обозначим $x = m^2$, $y = n^2$ и покажем площадями, что $(x + y)^2 = (x - y)^2 + 4xy$.
Возьмём квадрат со стороной $\p1{x} + \p2{y}$, где $x > y$.
Уложим в него четыре прямоугольника $\p3{x \times y}$ «вертушкой»: каждый прижат к своей стороне и повёрнут относительно соседа на четверть оборота. Вдоль любой стороны большого квадрата лежат длинная сторона одного прямоугольника и короткая сторона соседнего, в сумме $x + y$, поэтому они помещаются точно. Их общая площадь — $4xy$.
Посередине остаётся дыра. Её сторона — разность длинной и короткой сторон прямоугольника, $x - y$, а углы у неё прямые, как у прямоугольников. Значит, дыра — квадрат площадью $\p4{(x - y)^2}$.
Сравним площадь большого квадрата, посчитанную двумя способами: $(x + y)^2 = (x - y)^2 + 4xy$. Подставим $x = m^2$, $y = n^2$: $(m^2 + n^2)^2 = (m^2 - n^2)^2 + 4m^2n^2 = (m^2 - n^2)^2 + (2mn)^2$. Это и есть пифагорова тройка.
Почему других примитивных троек нет
Пусть $(a, b, c)$ — примитивная тройка. Сначала чётность. Если $a$ и $b$ оба чётны, у тройки общий делитель $2$, а это запрещено условием. Если оба нечётны, то квадрат нечётного числа $2k + 1$ равен $4k^2 + 4k + 1$ и при делении на $4$ даёт остаток $1$, так что $a^2 + b^2$ даёт остаток $2$. Но квадрат любого целого числа при делении на $4$ даёт остаток $0$ или $1$, и $c^2$ остатка $2$ дать не может. Значит, ровно один катет чётный; пусть это $b$. Тогда $c^2 = a^2 + b^2$ нечётно, и $c$ нечётно.
Перепишем равенство как $b^2 = c^2 - a^2 = (c - a)(c + a)$. Числа $c - a$ и $c + a$ чётны как разность и сумма нечётных; положим $c + a = 2u$, $c - a = 2v$, $b = 2w$ и получим $4w^2 = 4uv$, то есть $w^2 = uv$. У чисел $u$ и $v$ нет общих делителей больше $1$: любой такой делитель делил бы и $u + v = c$, и $u - v = a$, а тогда и $b^2 = c^2 - a^2$ — вместе с простым множителем этого делителя, — и тройка не была бы примитивной.
Итак, произведение двух взаимно простых чисел $u$ и $v$ — точный квадрат. В разложении на простые множители квадрата каждое простое входит в чётной степени, а у $u$ и $v$ простые множители разные, поэтому каждое простое целиком сидит в одном из них — в чётной степени. Значит, $u$ и $v$ сами квадраты: $u = m^2$, $v = n^2$. Отсюда $c = u + v = m^2 + n^2$, $a = u - v = m^2 - n^2$, $b = 2w = 2\sqrt{uv} = 2mn$. Числа $m$ и $n$ взаимно просты, как $u$ и $v$, и разной чётности — иначе $c = m^2 + n^2$ было бы чётным.
Разложите тройки по плоскости — катет $a$ по горизонтали, катет $b$ по вертикали — и получится неожиданный узор.
Узор объясняет формула. Кратные тройки $(ka, kb)$ лежат на одном луче из начала координат. А если закрепить $n$ и менять $m$, точка $(m^2 - n^2;\ 2mn)$ бежит по параболе $x = \frac{y^2}{4n^2} - n^2$ — подставьте $y = 2mn$ и проверьте. Лучи и параболы, симметричные относительно диагонали, — это те же тройки с переставленными катетами.
Египетский треугольник, увеличенный в пять раз, даёт тройку $(15, 20, 25)$. Найдите другую пифагорову тройку с гипотенузой $25$ и введите её меньший катет.
Ищем $m^2 + n^2 = 25$ при $m > n \ge 1$: подходит $m = 4$, $n = 3$. Тогда $a = 16 - 9 = 7$, $b = 2 \cdot 4 \cdot 3 = 24$. Проверка: $49 + 576 = 625 = 25^2$. Тройка $(7, 24, 25)$ примитивная.
Поля слишком узки
В III веке нашей эры Диофант Александрийский включил в свою «Арифметику» задачу II.8: разложить данный квадрат на сумму двух квадратов. Пифагоровы тройки — её целые решения. Спустя почти четырнадцать веков, около 1637 года, Пьер Ферма читал латинское издание «Арифметики» и на полях рядом с этой задачей записал: куб нельзя разложить на два куба, биквадрат — на два биквадрата, и вообще никакую степень выше второй — на две такие же. И добавил, что нашёл поистине чудесное доказательство, но поля слишком узки, чтобы его вместить. Запись увидели уже после смерти Ферма, когда его сын Самюэль в 1670 году переиздал «Арифметику» с заметками отца.
При натуральном $n > 2$ уравнение $a^n + b^n = c^n$ не имеет решений в натуральных числах.
Здесь галерее придётся нарушить своё правило: доказательства не будет, и вот почему. Для $n = 4$ его нашёл сам Ферма — методом бесконечного спуска: из любого решения он строил другое, с меньшими числами, а натуральные числа не могут уменьшаться бесконечно. Для $n = 3$ доказательство дал Эйлер в XVIII веке. Общий случай продержался больше трёхсот пятидесяти лет. В 1994 году Эндрю Уайлс, при участии Ричарда Тейлора, доказал его, связав уравнение Ферма с эллиптическими кривыми и модулярными формами; статьи вышли в 1995 году и заняли больше сотни страниц журнала Annals of Mathematics. Что за кривые помогли Уайлсу, мы увидим в главе 44. Было ли у самого Ферма верное доказательство, историки сильно сомневаются: скорее всего, он ошибся, как ошибались потом многие.
Расстояние по координатам
Самое частое применение теоремы Пифагора прячется в формуле, которую редко называют её именем. Две точки на координатной плоскости — концы гипотенузы, если провести через них прямые, параллельные осям.
Расстояние между точками $P_1(x_1;\,y_1)$ и $P_2(x_2;\,y_2)$ равно $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
Идея: достроить отрезок $P_1P_2$ до прямоугольного треугольника с катетами, параллельными осям, — их длины читаются прямо по координатам.
Даны точки $P_1(x_1;\,y_1)$ и $P_2(x_2;\,y_2)$; ищем длину $\p4{d}$ отрезка между ними.
Проведём через $P_1$ прямую, параллельную оси $x$, а через $P_2$ — параллельную оси $y$. Они пересекаются в точке $K(x_2;\,y_1)$ под прямым углом, потому что оси перпендикулярны.
Отрезок $P_1K$ горизонтален, и его длина — модуль разности абсцисс: $\p1{|x_2 - x_1|}$. Отрезок $KP_2$ вертикален, его длина — $\p2{|y_2 - y_1|}$. Модуль нужен, потому что разность может оказаться отрицательной, а длина — нет.
По теореме Пифагора $\p4{d}^2 = |x_2 - x_1|^2 + |y_2 - y_1|^2$. Квадрат модуля равен квадрату самого числа, поэтому модули можно убрать: $\p4{d} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$. Если точки лежат на одной горизонтали или вертикали, треугольник вырождается, но формула остаётся верной: одно из слагаемых равно нулю.
На клетчатой бумаге эта формула устраивает игру. Отрезки какой длины можно провести, соединяя узлы сетки? Длины $5$ — можно, $\sqrt2$ — тоже, это диагональ клетки. А $\sqrt3$?
Часть клеток не загорится, сколько ни старайтесь, и дело не в размере сетки. Квадрат длины — сумма квадратов двух целых чисел, а числа вроде $3$, $7$ или $21$ так не записываются. Какие записываются, решает разложение на простые множители, и это правило — одна из жемчужин теории чисел.
Найдите расстояние между точками $A(-2;\,3)$ и $B(4;\,-5)$.
$d = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (-5 - 3)^2} = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$. Снова египетский треугольник, увеличенный вдвое.
Диагональ коробки
Поместится ли удочка длиной $1{,}3$ метра в коробку $30 \times 40 \times 120$ сантиметров? Самый длинный отрезок внутри коробки — диагональ от одного угла до противоположного, и теорема Пифагора находит её за два шага.
Диагональ коробки с рёбрами $a$, $b$, $c$ равна $D = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$.
Шаг 1. Дно коробки — прямоугольник $a \times b$, и его диагональ $d$ — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами $a$ и $b$: $d^2 = a^2 + b^2$.
Шаг 2. Вертикальное ребро $c$ перпендикулярно двум рёбрам дна, выходящим из его нижнего конца, а прямая, перпендикулярная двум пересекающимся прямым плоскости, перпендикулярна и всей плоскости — в том числе диагонали дна $d$, проходящей через ту же вершину. Поэтому диагональ коробки $D$ — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами $d$ и $c$, который стоит внутри коробки вертикально: $D^2 = d^2 + c^2 = a^2 + b^2 + c^2$.
Для коробки из вопроса: $30^2 + 40^2 + 120^2 = 900 + 1600 + 14\,400 = 16\,900 = 130^2$. Диагональ — $130$ сантиметров, удочка влезает с запасом в десять сантиметров. Формула не останавливается на трёх измерениях: в пространстве любой размерности расстояние — корень из суммы квадратов разностей координат. На этом держатся и сравнение текстов по «похожести» в поисковых системах, и геометрия бесконечномерных пространств из главы 55.
Муравей в виджете — задача на смекалку. Лететь по диагонали он не может; кратчайший путь по стенкам находят, развернув две соседние грани в одну плоскость: там путь — прямая, и снова работает теорема Пифагора. В коробке $3 \times 4 \times 12$ муравью нужно проползти $\sqrt{7^2 + 12^2} = \sqrt{193} \approx 13{,}89$, а мухе — пролететь ровно $13$.
Найдите диагональ куба с ребром $\sqrt3$.
$D = \sqrt{3 + 3 + 3} = \sqrt9 = 3$. В общем виде диагональ куба с ребром $a$ равна $a\sqrt3$.
Если угол не прямой
Первый виджет главы показал: при остром угле $C$ сумма $a^2 + b^2$ больше $c^2$, при тупом — меньше. На сколько? Евклид ответил и на это, двумя предложениями второй книги, II.12 и II.13. Опустим из вершины $B$ высоту на прямую $CA$. Её основание назовём $H$, а расстояние $x = CH$ будем считать со знаком: положительным, если $H$ лежит на луче $CA$, и отрицательным, если за точкой $C$.
В треугольнике $ABC$ со сторонами $a = BC$, $b = CA$, $c = AB$ выполняется равенство $c^2 = a^2 + b^2 - 2bx$, где $x$ — расстояние со знаком от $C$ до основания высоты, опущенной из $B$ на прямую $CA$.
Идея: высота разрезает треугольник на два прямоугольных, а к каждому применима теорема Пифагора.
Дан треугольник $ABC$ со сторонами $\p1{a} = BC$, $\p2{b} = CA$ и $\p4{c} = AB$.
Опустим из $B$ перпендикуляр $\p3{h} = BH$ на прямую $CA$, при необходимости продолжив сторону. Отрезок $CH$ — это $\p5{x}$. Если угол $C$ тупой, точка $H$ оказывается за точкой $C$, и $x < 0$.
Треугольник $BHC$ прямоугольный: угол при $H$ прямой. Его гипотенуза — $\p1{a}$, катеты — $\p3{h}$ и $|x|$. По теореме Пифагора $\p3{h}^2 = \p1{a}^2 - \p5{x}^2$.
Треугольник $BHA$ тоже прямоугольный, его гипотенуза — $\p4{c}$, катеты — $\p3{h}$ и $AH$. Точки $C$, $H$, $A$ лежат на одной прямой, и при любом положении $H$ длина $AH$ равна модулю разности $\p2{b} - \p5{x}$; квадрат модуля равен квадрату разности. Поэтому $\p4{c}^2 = \p3{h}^2 + (\p2{b} - \p5{x})^2$.
Подставим $\p3{h}^2$ из третьего шага и раскроем скобки: $\p4{c}^2 = \p1{a}^2 - x^2 + \p2{b}^2 - 2bx + x^2 = \p1{a}^2 + \p2{b}^2 - 2\p2{b}\p5{x}$.
Если угол $C$ прямой, высота из $B$ совпадает с катетом $BC$, $x = 0$, и остаётся теорема Пифагора. Так что она — частный случай, а слагаемое $2bx$ — поправка на непрямой угол. В главе 21 окажется, что $x = a \cos C$, и формула примет привычный вид теоремы косинусов: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$.
Угол $C$ треугольника острый, если $a^2 + b^2 > c^2$; прямой, если $a^2 + b^2 = c^2$; тупой, если $a^2 + b^2 < c^2$.
По предыдущей теореме $a^2 + b^2 - c^2 = 2bx$, и раз $b > 0$, знак разности совпадает со знаком $x$. Свяжем знак $x$ с углом $C$. Если $H$ совпадает с $C$, то $BC$ перпендикулярна $CA$, угол $C$ прямой и $x = 0$. Если $H$ лежит на луче $CA$, то угол $C$ — острый угол прямоугольного треугольника $BHC$, и $x > 0$. Если $H$ лежит на продолжении за точкой $C$, то острым углом треугольника $BHC$ оказывается угол, смежный с углом $C$, так что сам угол $C$ тупой, а $x < 0$. Три случая исчерпывают все возможности, поэтому соответствие работает в обе стороны: острый угол — $x > 0$ — сумма больше, и так далее.
Каким будет треугольник со сторонами $6$, $8$ и $11$?
Против самой длинной стороны лежит самый большой угол. $6^2 + 8^2 = 100 < 121 = 11^2$, значит, этот угол тупой. Прямым он был бы, если бы третья сторона равнялась $10$.
В треугольнике $ABC$ сторона $BC = 13$, сторона $CA = 14$, а высота из вершины $B$ падает на сторону $CA$ в точку $H$, для которой $CH = 5$. Найдите сторону $AB$.
По формуле Евклида $c^2 = 13^2 + 14^2 - 2 \cdot 14 \cdot 5 = 169 + 196 - 140 = 225$, $c = 15$. Можно и без неё: высота $BH = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12$, $AH = 14 - 5 = 9$, $AB = \sqrt{12^2 + 9^2} = 15$. Это тот самый треугольник $13$, $14$, $15$ из прошлой главы.
Экскурсия окончена, на выходе — тренажёр. На первом уровне стороны целые, на втором появляются корни и координаты, на третьем — задачи про коробки, ромбы, лестницы и формулу Евклида.
Куда дальше
Формула расстояния делает неожиданную вещь: превращает фигуру в уравнение. Точки, удалённые от начала координат ровно на $5$, — это точки, для которых $x^2 + y^2 = 25$, то есть окружность. На ней ровно двенадцать точек с целыми координатами: $(\pm3;\,\pm4)$, $(\pm4;\,\pm3)$, $(\pm5;\,0)$ и $(0;\,\pm5)$ — опять египетский треугольник. Длину любого отрезка мы теперь найдём по координатам концов. А длину самой окружности? Она кривая, и никакой треугольник её не спрямит. Обмотайте банку ниткой: окружность получится чуть больше трёх диаметров. Насколько больше — вопрос, за ответом на который математики гнались больше двух тысяч лет, от Архимеда до суперкомпьютеров. Об этой погоне — глава 19.