Царица наук EN

Царица наук

Доказательства

Все главы курса по темам, уровням и частям. Можно выбрать несколько тем сразу — например, «Головоломки» и «Вероятность».

0 Что такое математика Пять точек на окружности режут круг на 16 частей, шесть — на 31, хотя рука сама пишет 32. С этой ловушки начинается курс: почему математике мало примеров, чем она их заменяет и какие семь вопросов ждут впереди. 5–9 класс 30 мин 2 Ноль и минус Сколько будет 3 − 5? Скептик из XVII века уверен, что нисколько, а «минус на минус» считает бессмыслицей. Поспорим с ним по правилам: каждое правило знаков придётся отстоять. 5–9 класс 40 мин 3 Простые числа Есть числа, которые нельзя разбить на множители. Из них умножением собирается всё остальное, их бесконечно много, а где встретится следующее, заранее не скажет никто. 5–9 класс 40 мин 6 Корень из двух и действительные числа Дело о диагонали квадрата: три независимые экспертизы доказывают, что её длину нельзя записать дробью. Разбираемся, как с этим жили вавилоняне, что такое цепные дроби и откуда берутся действительные числа. 5–9 класс 45 мин 13 Последовательности и индукция Как сложить сто чисел за минуту, почему бесконечная сумма бывает конечной и как доказать утверждение сразу для всех n — поставив в ряд костяшки домино и толкнув первую. 5–9 класс 45 мин 16 Начала: аксиомы и построения Около 300 года до нашей эры в Александрии написали книгу, которая учит отличать «видно на чертеже» от «верно всегда». Её правила — циркуль и линейка, и по ним можно играть. 5–9 класс 45 мин 17 Треугольник Лаборатория с одним прибором — подвижным треугольником. Двигаем вершины, замечаем, что не меняется, и доказываем, почему: от признаков равенства до прямой Эйлера. 5–9 класс 60 мин 18 Теорема Пифагора Самая знаменитая теорема геометрии и её галерея: пять залов, в каждом своё доказательство — китайское, Евклида, через подобие, президентское и головоломка без формул. На выходе — целые тройки, расстояния и загадка Ферма. 5–9 класс 50 мин 20 Площадь и объём Мастерская с ножницами: режем фигуры, перекладываем куски и выясняем, что такое площадь. Любой многоугольник перекраивается в любой другой той же площади — а круг и куб ножницам не поддаются. 5–9 класс 55 мин 25 Пределы Скорость в одно мгновение выглядит как ноль, делённый на ноль. Полтора века математики пользовались ею, не умея объяснить, что это такое. Объяснение оказалось игрой против упрямого противника — выучим её правила. 10–11 класс 50 мин 37 Векторные пространства Стрелки, многочлены, звуковые сигналы и даже магические квадраты складываются и умножаются на числа по одним и тем же правилам. Восемь аксиом — и всё, что мы знаем о стрелках, начинает работать во всех этих мирах сразу. 1–2 курс 60 мин 43 Теория Галуа Почему для уравнения пятой степени нет формулы, почему угол не делится на три равные части циркулем и линейкой и почему правильный семнадцатиугольник построить можно. На все три вопроса отвечает одна идея — симметрии корней. Её автор, Эварист Галуа, погиб в двадцать лет. 3 курс и выше 75 мин 51 Логика и множества Пятьдесят глав мы говорили «для любого», «существует», «следовательно» и «множество», не заглядывая в грамматику. Выучим её на острове, где одни жители всегда говорят правду, а другие всегда лгут. 1–2 курс 55 мин 52 Бесконечности Три собеседника Галилея спорят, чего больше: натуральных чисел или точек на отрезке. По дороге им попадутся гостиница, где всегда есть свободный номер, диагональ Кантора и башня бесконечностей без верхнего этажа. 1–2 курс 55 мин 53 Строгий анализ Непрерывная функция без единой касательной, функция, которую нельзя нарисовать, предел непрерывных функций со скачком. Бестиарий чудовищ, из-за которых анализ стал строгим, и инструменты, которыми их приручили. 1–2 курс 75 мин 54 Мера и интеграл Лебега Сколько весят все дроби отрезка? Ответ «ничего» заставил заново определить длину — и привёл к интегралу, которому по силам функция Дирихле, к множествам, которые нельзя измерить, к шару, из которого собирают два, и к кругу, разрезанному в квадрат. 3 курс и выше 75 мин
Царица наук

Главы курса

Вступление

  1. 0 Что такое математика

I Числа

  1. 1 Счёт
  2. 2 Ноль и минус
  3. 3 Простые числа
  4. 4 Делимость
  5. 5 Дроби
  6. 6 Корень из двух

II Алгебра

  1. 7 Буквы
  2. 8 Уравнения
  3. 9 Функции и графики
  4. 10 Квадратные уравнения
  5. 11 Системы и неравенства
  6. 12 Степени и логарифмы
  7. 13 Последовательности
  8. 14 Многочлены
  9. 15 Комплексные числа

III Геометрия

  1. 16 Начала Евклида
  2. 17 Треугольник
  3. 18 Теорема Пифагора
  4. 19 Окружность и π
  5. 20 Площадь и объём
  6. 21 Тригонометрия
  7. 22 Векторы
  8. 23 Симметрия
  9. 24 Конические сечения

IV Анализ

  1. 25 Пределы
  2. 26 Производная
  3. 27 Экстремумы
  4. 28 Интеграл
  5. 29 Число e
  6. 30 Ряды
  7. 31 Дифференциальные уравнения
  8. 32 Многие переменные
  9. 33 Ряды Фурье
  10. 34 Комплексный анализ

V Линейная алгебра

  1. 35 Матрицы
  2. 36 Метод Гаусса
  3. 37 Векторные пространства
  4. 38 Собственные векторы
  5. 39 МНК и SVD

VI Структуры

  1. 40 Группы
  2. 41 Остатки и шифры
  3. 42 Кольца и поля
  4. 43 Теория Галуа
  5. 44 Дзета и кривые

VII Случай и данные

  1. 45 Комбинаторика
  2. 46 Графы
  3. 47 Вероятность
  4. 48 Случайные величины
  5. 49 Статистика
  6. 50 Марков и информация

VIII Основания

  1. 51 Логика и множества
  2. 52 Бесконечности
  3. 53 Строгий анализ
  4. 54 Мера и интеграл
  5. 55 Функциональный анализ
  6. 56 Гёдель и Тьюринг

IX Горизонты

  1. 57 Топология
  2. 58 Неевклидовы геометрии
  3. 59 Хаос и фракталы
  4. 60 Передний край