Случайные величины
Ожидание и дисперсия, формула Бернулли, распределение Пуассона и число попыток до успеха, нормальный закон, правило трёх сигм и центральная предельная теорема.
Как решать
Случайная величина — число, которое зависит от случая: очки на кости, число попаданий, рост наугад выбранного человека. Две главные характеристики — ожидание (среднее значение в долгой серии) и дисперсия (насколько разбросаны значения вокруг него).
По шагам
- Ожидание линейно: $\mathbb E(aX + b) = a\,\mathbb E X + b$. Дисперсия: $\mathbb D(aX + b) = a^2\,\mathbb D X$ — сдвиг на неё не влияет.
- Ровно $k$ успехов из $n$ независимых попыток — формула Бернулли.
- Редкие события с известным средним числом $\lambda$ — Пуассон: $P(k) = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$. Среднее число попыток до первого успеха — $\frac{1}{p}$.
- Нормальный закон: переведите значение в стандартные отклонения $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ и используйте правило: в $\pm 1\sigma$ — $68\%$, в $\pm 2\sigma$ — $95\%$, в $\pm 3\sigma$ — $99{,}7\%$.
Где ошибаются
- Сдвигают дисперсию вместе с ожиданием: $\mathbb D(3X - 5) = 9\,\mathbb D X$, а $-5$ не влияет.
- В формуле Бернулли забывают биномиальный коэффициент — сколькими способами можно выбрать попытки-успехи.
- Путают стандартное отклонение и дисперсию: $\sigma = \sqrt{\mathbb D X}$.
- Для одного хвоста нормального закона берут всё, что вне полосы, а не половину.