Математика EN

Считаем вероятности

Вероятности: равновозможные исходы, «хотя бы один» через противоположное событие, независимые события, полная вероятность и формула Байеса на примере медицинского теста.

Как решать

Если все исходы равновозможны, вероятность — доля благоприятных исходов. Сложные события раскладываются на простые: «и» для независимых событий — произведение, «или» для несовместных — сумма, «хотя бы один» проще всего через противоположное «ни одного».

По шагам

Равновозможные исходы: посчитайте все исходы и благоприятные; вероятность — их отношение. Две кости — $36$ упорядоченных пар.
«Хотя бы один»: $P = 1 - P(\text{ни одного})$.
Независимые события: вероятность того, что произойдут все, — произведение вероятностей.
Байес: представьте большую группу (например, $10\,000$ человек), посчитайте, сколько попадут в каждую ветку, и возьмите нужную долю.

Гипотеза: например, «человек болен».

Наблюдение: «тест положительный».

Полная вероятность наблюдения — по всем гипотезам: больные с положительным тестом плюс здоровые с ложной тревогой.

Пример: больны $2\%$, тест находит $95\%$ больных и ошибается у $10\%$ здоровых. Из $10\,000$: $190$ больных с плюсом и $980$ здоровых с плюсом; $P = \frac{190}{1170} = \frac{19}{117} \approx 16\%$.

Где ошибаются

Путают $P(A \mid H)$ и $P(H \mid A)$: «тест находит $95\%$ больных» не значит, что положительный тест — это $95\%$ болезни.
Считают «хотя бы одну шестёрку за $4$ броска» как $\frac{4}{6}$ — вероятности так не складываются.
На двух костях считают исходы неупорядоченными и получают $21$ вместо $36$.
Перемножают вероятности зависимых событий без учёта условия.