Математика EN

Циркуль, линейка и степень двойки

Какие правильные многоугольники можно построить циркулем и линейкой, какова степень алгебраического числа и можно ли построить отрезок данной длины.

Как решать

Циркуль и линейка умеют складывать, вычитать, умножать, делить и извлекать квадратные корни — и больше ничего. Поэтому построимое число всегда получается цепочкой квадратных расширений, и степень его минимального многочлена — степень двойки. Отсюда невозможность удвоения куба: у $\sqrt[3]{2}$ степень $3$.

По шагам

Степень числа $\alpha$: найдите многочлен с рациональными коэффициентами наименьшей степени, корнем которого оно служит (минимальный). Для $\sqrt[n]{a}$ это обычно $x^n - a$.
Построимость: если степень не степень двойки, построить нельзя.
Правильный $n$-угольник: разложите $n$ на множители. Строится, только если $n$ — степень двойки, умноженная на различные простые Ферма $3, 5, 17, 257, 65537$.
Повторяющийся простой Ферма ($9 = 3^2$, $25 = 5^2$) или другой нечётный простой ($7$, $11$, $13$) делают построение невозможным.

Любая степень двойки.

Различные простые числа Ферма $2^{2^j} + 1$, каждое не больше одного раза.

Пример: $225 = 3^2 \cdot 5^2$ — тройка и пятёрка повторяются, правильный $225$-угольник построить нельзя. А $17$-угольник можно.

Где ошибаются

Считают построимым $n$-угольник, если все простые множители — числа Ферма, забыв про повторы: $9$-угольник не строится.
Думают, что любое число с корнями построимо: $\sqrt[3]{5}$ — корень, но кубический, степень $3$.
Берут не минимальный многочлен: степень $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ равна $4$, хотя «на вид» корни квадратные.
Путают обратное утверждение: степень — степень двойки ещё не гарантирует построимость в общем случае.